9.3 自感与互感&9.4 磁场的能量

• ​自感

  • ​由于回路中本身电流变化引起

  • ​ $\Phi_m=LI$ 

    • ​L 是自感系数，单位是亨利（H)

    • ​与线圈形状、匝数、空间介质有关

    • ​与通过电流大小无关

  • ​法拉第电磁感应定律： $\varepsilon_L=-\dfrac{d\Phi}{dt}=-(L\dfrac{dI}{dt}+I\dfrac{dL}{dt})$ 

    • ​L不变时， $\varepsilon_L=-L\dfrac{dI}{dt}$ 

  • ​类似于“惯性”，有使回路保持原有电流不变的性质

  • ​长直螺线管自感系数 $L=\mu n^2 V=\mu\dfrac{N^2 S}{l}$ , $\mu$ 为磁导率

  • ​增长与衰减过程

    • ​ $I_0=\varepsilon/R$ 是电流稳定值

    • ​增长

      • ​由欧姆定律： $\varepsilon-L\dfrac{dI}{dt}=RI$ 

        • ​解微分方程得 $I=I_0(1-e^{-\frac{R}{L}t})$ 

    • ​衰减

      • ​由欧姆定律： $-L\dfrac{dI}{dt}=RI$ 

        • ​解微分方程得 $I=I_0e^{-\frac{R}{L}t}$ 

• ​互感

  • ​由于其他回路电流变化引起

  • ​ $\Phi_{12}=M_{12}I_1,\ \Phi_{21}=M_{21}I_2$ 

    • ​M是互感系数

      • ​无铁磁质时与形状、匝数、相对位置、磁介质情况有关

    • ​可证明 $M_{12}=M_{21}=M$ 

  • ​法拉第电磁感应定律： $\varepsilon_1=-M\dfrac{dI_2}{dt}$ , $\varepsilon_2=-M\dfrac{dI_1}{dt}$ 

• ​磁场的能量

  • ​来源

    • ​电源做功 -> 焦耳热和自感能

  • ​由欧姆定律： $\varepsilon-L\dfrac{dI}{dt}=RI$ 

    • ​积分得 $\displaystyle W_m=-\int_0^tI\varepsilon_L dt=\int_0^tIL\frac{dI}{dt}dt=\frac{1}{2}LI^2$ 

  • ​ $\displaystyle W_m=\frac{1}{2}LI^2$ 

    • ​长直螺线管： $\displaystyle W_m=\frac{B^2}{2\mu}V$ （V是螺线管体积）

    • ​ $\displaystyle w_m=\frac{B^2}{2\mu}=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}\mu H^2$ 

    • ​ $\displaystyle dW_m=w_mdV=\frac{B^2}{2\mu}dV$