数学基础

• ​概率统计与其他数学定义

  • ​图表

    • ​扇形统计图

    • ​折线统计图

    • ​条形统计图

  • ​数据分析

    • ​众数，平均数，中位数，方差，标准差

    • ​整体情况与离散程度

  • ​概率

    • ​古典概型

    • ​几何概型

  • ​命题，条件，证明的定义

  • ​三视图，投影与其应用

• ​代数

  • ​代数式

    • ​单项式与多项式

      • ​概念与定义

      • ​多项式乘法与因式分解

        • ​ $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ 

        • ​ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 

        • ​ $xA\pm xB=x(A\pm B)$ 

        • ​因式分解的运用：求解一元二次方程

      • ​常数

        • ​有理数与无理数

        • ​数轴，尺规表示 $x$ 的算数平方根

        • ​ $\pi$ 与 $\dfrac{\sqrt 5-1}{2}$ 

        • ​黄金分割比的定义

      • ​幂的运算(5条)与科学计数法

        • ​特殊公式 $1^n=1\\0^n=0(n\ne0)\\(-1)^n=1(n \equiv 0\mod2)\\(-1)^n=-1(n \equiv 1\mod2)\\n^0=1(n\ne 0)$ 

    • ​分式

      • ​概念与定义

      • ​基本运算与取值范围

        •  $\dfrac A B=0 \Leftrightarrow A=0，B\ne 0$
          

        • ​有意义的条件，分母不为 $0$ 

        • ​分式的四则运算与比例的基本性质

    • ​二次根式

      • ​​概念与定义

      • ​​基本运算与取值范围

        • ​双重大于0

        • ​易错点

          • ​平方根与数学平方根

          • ​最简二次根式

          • ​ $\sqrt {a^2}=|a |$ 

  • ​等式(方程)

    • ​一次方程与求解

    • ​二次方程与求解

      • ​直接开方/配方/公式/因式分解

        • ​高级操作：十字相乘/活用韦达定理

      • ​根与系数的关系：韦达定理

      • ​二次项系数不为0

      • ​实根存在性：查 $b^2-4ac$ 

    • 一次​方程组的求解

      • ​加减消元

      • ​代入消元

    • ​分式方程与求解

      • 检验，根回代观察是否为0
        

      • ​化简，乘最简公因式

    • ​特殊方程求解

      • ​ $|x-a|+(y-b)^{2n}=0$ 

  • ​不等式

    • ​定义与概念

    • ​解不等式：乘负数不等号转向

    • ​解集的表示：数轴，可相等实心，不可相等空心

    • ​不等式组与解集的交

  • ​函数

    • ​函数的定义（初中范围给定x只有一个y与之对应）与3种表示方式

    • ​平面直角坐标系与点的变换

      • ​点的对称

        • ​原点对称，给定点对称

      • ​线的对称

        • ​ $y=\pm x$ 对称，坐标轴对称

      • ​坐标系中的距离

    • ​一次函数

      • ​图像：直线，两点可以确定

      • ​性质

        • 对称性：关于直线本身和任意与其垂直的直线对称，关于所有在直线上的点中心对称
          

        • ​增减性：k的正负定趋势，绝对值大小定程度

      • ​定义：形如 $y=kx+b(k\ne0)$ 的函数
        

      • ​特殊点： $(0,b)$ 

    • ​反比例函数

      • ​图像：双曲线，一点可以确定

      • ​性质：

        • 
          

           $y=\pm x$ 轴对称，原点中心对称
          

        • ​每一支增减性不变，由k决定

        • ​与矩形面积关系‘

      • ​一般式： $y=\dfrac k x(k\ne 0)$

    • ​二次函数

      • ​图像：抛物线，三点可以确定（含顶点可以两点确定）

      • ​一般式： $y=ax^2+bx+c/y=a(x-k)^2+h/y=a(x-x_1)(x-x_2)[a\ne 0]$ 

      • ​对称轴： $l:x=-\dfrac b {2a}$ 

      • ​开口方向与大小

      • ​最值问题

        • ​解决问题千万要写a的取值

      • ​区间最值

      • ​增减性

      • 顶点 $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$ 
        

    • ​常用锐角三角函数

      • ​三个定义

      • ​特殊三角函数值

      • ​基本公式

      • ​小贴士（以正弦为例）： $\sin \alpha=\sin \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta$ 

  • 函数，方程，不等式之间的关系：
    

    • 

      ​

      • ​曲线：函数f

      • ​蓝色区域：f>0的解集

      • ​点ABC（与x轴交点）方程f=0的解

• ​几何

  • ​点线角

    • ​概念与定义

      • ​线段的应用：根据两点之间线段最短求最短距离

      • ​直线，射线，线段的区别与联系

    • ​中点

      • ​判定与性质

    • ​垂线

      • ​判定与性质

      • ​应用，根据垂线段最短求最短距离

      • ​应用，根据直径所对圆周角作垂线与切线

    • ​角平分线

      • ​判定与性质

      • ​应用，做三角形内切圆

    • ​垂直平分线

      • ​判定与性质

      • ​​应用，做三角形内切圆

    • ​角与平行线

      • 同/等角的补/余角相等
        

      • ​平行线的判定与性质（共6条）

  • ​三角形

    • ​概念与性质

    • ​特殊三角形

      • ​等腰三角形

        • ​三线合一

        • ​等边对等角，等角对等边

        • ​等边三角形

          • ​判定与性质

          • ​根据边长求面积

      • ​直角三角形

        • ​勾股定理与其逆定理： $a^2+b^2=c^2 \Leftrightarrow Rt \triangle$ 

        • ​两锐角互余

        • ​斜边中线等于斜边一半

    • ​重心、内心、外心、垂心

      • ​重心的性质

    • ​高线，中线，各各角的角平分线

    • ​特殊法求面积

      • ​根据勾股定理列方程

      • ​公式

      • ​割补法

        • ​坐标系中向 $x$轴作垂线
          

        • ​补成矩形

    • ​三角形的中位线

  • ​四边形

    • ​平行四边形

      • ​判定(4条)与性质(3条)

      • ​矩形

        • ​判定(+1条/2条)与性质（+2条）

      • ​菱形

        • ​判定(+1条/2条)与性质（+2条）

          • ​二级结论

            • ​对角线平分对角

            • ​面积为对角线的积的一半

      • ​正方形

        • ​判定：菱形+矩形

          • ​满足它们的所有性质

    • ​含多个特殊角的四边形

      • ​技巧：构造特殊三角形

  • ​多边形

    • ​内角和公式与外角和

    • ​正多边形与圆的关系

  • ​圆

    • ​定义

    • ​性质

      • ​圆心角与圆周角

        • ​直径所对 $\Leftrightarrow$ 圆周角直角
          

        • ​圆内接四边形 $\Leftrightarrow$ 对角互补（单向可用）

      • ​中心对称

        • ​两角、弧、弦 “三位一体”

      • ​轴对称

        • ​垂径定理

          • ​易错点

            • ​不可逆用

            • ​垂径同时平分弧

      • ​切线

        • ​切线长定理

          • ​部分引理

        • ​垂直加半径

    • ​运用

      • ​求解圆锥相关问题

  • ​图形之间的特殊关系与几何变换

    • ​全等图形

      • ​概念与定义

      • ​全等三角形

        • ​性质与判定

    • ​相似图形

      • ​概念与定义

      • ​相似三角形

        • ​性质与判定

        • ​基本模型（A，反A，子母，射影）

  • ​尺规作图基础：

    • ​中垂线

    • ​做一个角等于已知角

    • ​对称点

    • ​三角形外接内切圆

    • ​特殊的无理数

    • ​垂线（2种情况）