数量关系

• ​排列组合

  • ​排列

    • ​ $A_a^b$ 乘法运算

      • ​举例： $A_6^3$ $A_6^4$ =6*5*4*3

      • ​从a开始乘，乘b个数

      • ​有b个元素，对应a个位置

    • ​排列：有序事件

    • ​标志词：安排/排列

  • ​组合

    • ​ $C_a^b$ 除法运算

      • ​举例： $C_6^4$ = $\frac{A_6^4}{4*3*2*1}$ 

      • ​分子是 $A_a^b$ ，分母是b一直乘到1

      • ​有b个元素，对应a个位置

    • ​组合：无序事件

    • ​标志词：选择

  • ​A与C的连接

    • ​分类

      • ​用加法

      • ​可以...也可以

      • ​或关系

    • ​分步

      • ​用乘法

      • ​先...再...

      • ​且关系

  • ​特点

    • ​ $A_a^1$ = $C_a^1$ =a

    • ​ $C_a^a$ =1

    • ​ $C_a^1$ = $C_a^{b-1}$ 

  • ​基本模型

    • ​相邻

      • ​捆绑法

        • ​标志：必须挨着，相邻不能分开，看做一个整体

        • ​先整体，再内部

        • ​这个整体内部有n个元素则有 $A_n^n$ 个排列方式

      • ​反向法

        • ​正确答案=总数-反向情况

    • ​不相邻

      • ​插空法

        • ​标志：元素与元素之间不能相邻必须分开

    • ​环形排列

      • ​去重复后n个人有 $A_{ n-1 } ^{ n-1 }$ 种方式

      • ​环形指封闭形状

    • ​平均分组

      • ​去重复后 $÷ A_n^n$  $A_n^n$
        

        • ​平均分组时，有n组人数相同时，除以 $A_{n} ^{ n}$ 

    • ​相同元素至少分配1

      • ​隔板法

        • ​应用前提：分东西类题目且东西相同

        • ​至少要分到一个

        • n个东西分给m个人： $C_{ m-1 } ^{ n-1 }$ 

        • ​至少分n个

          • ​每人先分n-1个，再分1个

• ​容斥原理

  • ​找到并去除重复

  • ​常用方法

    • ​公式法

      • ​两集合

        • ​满足条件1+满足条件2—两者都满足=总数-两者都不满足

      • ​三集合标准型

        • ​满足条件1+满足条件2+满足条件3—满足12-满足23-满足13+三者都满足=总数-三者都不满足

        • 特点：满足两个条件的包含三者都满足的

      • ​三集合不标准型

        • ​总数-三者都不满足=满足条件1+满足条件2+满足条件3-只满足两个条件-2*三者都满足=只满足一个条件+只满足两个条件+只满足三个条件