概率论的基本概念

• 随机试验

  • 随机事件基本概念

    • 随机试验

      • 可重复性

      • 结果不止一个

      • 无法预测性

    • 基本事件：不可再分

    • 复合事件：由基本事件复合而成

    • 样本空间与样本点

    • 事件域

  • 事件间的关系

    • 包含

    • 相等：A包含于B且B包含于A

    • 并（和）

      •  $A+B⊃A$ 

      •  $A+A=A$ 

    • 交（积）

      •  $AB⊂A$ 

      •  $AA=A$ 

    • 差：A发生而B不发生

    • 互不相容事件： $AB=Φ$ 

    • 对立（互斥）事件： $AB=Φ$ 且 $A+B=Ω => A=\overline{B}$ 

    • 完备事件组：N个事件两两互不相容，且并集为全集

  • 运算律

    • 交换律

    • 结合律

    • 分配律

      •  $(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)$ 

      •  $(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)$ 

    • 对偶律（常用）

      •  $\overline{(A∪B)}=\overline{A}∩\overline{B}$ 

      •  $\overline{(A∩B)}=\overline{A}∪\overline{B}$ 

• 事件的概率

  • 公理化

    • 非负性

    • 规范性： $0<=P(Ø)<=1$ 

    • 可加性

  • 概率

    • 定义：事件发生可能性大小

    • 性质

      •  $P(Ø)=0$ 

      • 有限可加

      • 减法定理

        •  $P(A-B)=P(A)-P(AB)$ 

        •  $若A⊂B，有P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)>=P(A)$ 

      • 加法定理

        •  $P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ 

        •  $P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$ 

        • A、B不相容时： $P(A+B)=P(A)+P(B)$ 

      •  $P(\overline{A})=1-P(A)$ 

  • 几何概型

    • 会面问题

    • 蒲丰投针问题（到现在都看不懂）

  • 古典概型

    • 定义

      • 样本空间大小有限

      • 基本事件发生概率相等

    • 性质：一个事件发生的概率等1/n

    • 模型

      • 生日模型

      • 超几何分布

      • 福利彩票模型

      • 放回抽样与不放回抽样

    • 实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上不发生

  • 条件概率

    •  $P(B|A) = P(AB)|P(A)$ 

    • 性质

      • 非负性

      • 规范性： $P(S|A)=1$ 

      • 可列可加性

  • 乘法定理

    • 公式

      •  $P(AB)=P(B|A)P(A)$ 

      •  $P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$ 

    • 模型（实际上我已经忘记了这两个模型是什么东西了）

      • 抽签模型

      • 传染病模型

  • 全概率公式与贝叶斯公式

    • 全概率公式

      • 在完备事件组A中，事件B发生的概率

      •  $P(B)=∑P(B|A_i)P(A_i)$ （看起来很像乘法公式）

      • 划分：随机事件E中的一个完备事件组称之为样本空间的一个划分

    • 贝叶斯公式

      • 事件A发生下，完备事件组B中的某个事件发生的概率

      •  $\frac{P(B_i|A)=P(A|B_i)P(B_i)}{∑P(A|B_j)P(B_j) }$ （贝叶斯公式的分母为全概率公式）

  • 独立性

    • 定义：P(AB)=P(A)P(B)

    • 当两个事件相互独立时有：

      •  $P(B|A)=P(B)$ 

      •  $P(AB)=P(A)P(B)$ 

    • A、B相互独立与A、B互不相容(P(AB)=0)不能同时成立

    • 当P(A)>0时，若P(B|A)=P(B)<=>A、B相互独立