随机变量

• ​分布函数

  • ​设X是一随机变量，对于任意的实数x，称函数 $F(x)=P\{X\le x\}$ 为随机变量X的分布函数

    • ​F（x）对于每一个确定的x，F（x）表示落在(-∞，x]内的积累概率

      • ​F（x）是x的单调不减函数

      • ​ $F(-\infty)=\underset{x\to -\infty}{lim}F(x)=0，F(+\infty)=\underset{x\to+\infty}{lim}F(x)=1$

        $F(+\infty)=\underset{x\to+\infty}{lim}F(x)=1$$F(-\infty )=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$ ， $F(+\infty)=\underset{x\to+\infty}{lim}F(x)=1$ 

• ​离散型

  • 

    • ​两点分布

      • 

        ​

    • ​二项分布 $X\sim B(n,p)$ 

      • ​ $P\{X=k\}=C^k_np^kq^{n-k}$        k=0,1,2,…,n，其中p>0,q=1-p

    • ​泊松分布 $X\sim P(\lambda)$ 

      • ​ $P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$     k=0,1,2,…，其中λ>0

        • ​ $P\{X=k\}>0$ 

        • ​ $\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}P\{X=k\}=\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}e^\lambda=1$ 

• ​连续型

  • ​设随机变量X的分布函数为f(x)，如果存在非负函数f(x)，使得对任意实数x，均有  $F(x)=\int^x_{-\infty}f(t)dt$     则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的概率分布密度函数，简称为概率密度或密度函数。

    • ​ $f(x)\geqslant0$     $(-\infty<x<+\infty)$ 

    • ​ $\int^{-\infty}_{+\infty}f(x)dx=1$ 

    • ​对于任意的实数 $x_1,x_2$ ，且 $x_1<x_2$ ，均有 $P\{x_1<X\leqslant x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\int^{x_2}_{x_1}f(x)\mathrm{d}x$  即随机变量X落在区间 $(x_1,x_2]$ 上的概率等于密度函数f(x)在 $[x_1,x_2]$ 上的定积分，亦即以区间 $[x_1,x_2]$ 为底，以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积。

    • ​若f(x)为连续函数，则有 $F^\prime(x)=f(x)$ ，即在f(x)的连续点x处，有 $f(x)=\underset{\Delta x\to0^+}{\lim}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to0^+}{\lim}\frac{P\{x<X\leqslant x+\Delta x\}}{\Delta x}$ 

  • • ​均匀分布 $X\sim U[a,b]$ 

    • ​指数分布 $X\sim E(\lambda)$ 

    • 正态分布 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 

      • ​ $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$    其中 $\mu，\sigma$ ，均为常数，且 $\sigma>0$ 

        •  $\mu$

        • ​标准正态分布： $\mu=0$ ， $σ =1$ 

          • ​密度函数： $φ (x)=\frac{1}{ \sqrt{2\pi} }e^{-\frac{x^2}{2}}$ 

          • ​分布函数： $ϕ (x)=\frac{1}{ \sqrt{2\pi} }\int^x_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$ 

            • ​ $ϕ (-x)=1- ϕ (x)$ 

• ​概率分布

  • ​离散型

  • ​连续型