向量的数量积

• ​数量积定义

  • ​ $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}= \left| a\right| \left| b \right| cos<\boldsymbol{a,b}>$ 

• ​性质

  • (1)​ $\boldsymbol{a \cdot e}=\boldsymbol{e \cdot a}= \left| \boldsymbol{a}\right| cos<\boldsymbol{a,e}>$ 

  •  (2)$\boldsymbol{a \bot b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a \cdot b=0}$ 

  • (3) $\boldsymbol{a \cdot a }= \boldsymbol{a}^{2} 即 \left| \boldsymbol{a} \right| = \sqrt{\boldsymbol{a \cdot a}}$  $cos<\boldsymbol{a \cdot b}>$ 

  •   $\left( 4 \right)$
    

  • （5） $\left| \boldsymbol{a \cdot b}\right| \leq \left| \boldsymbol{a} \right| \left| \boldsymbol{b} \ri（（））ght|$ 

• ​运算律

  • ​交换律 $\boldsymbol{ a\cdot b}=\boldsymbol{b \cdot a}$ 

  • ​结合律 $\left( λ \boldsymbol{a}\right) \boldsymbol{ \cdot b}= λ \left( \boldsymbol{a \cdot b} \right) =\boldsymbol{a}( λ \boldsymbol{b})$ 

  • ​分配律 $\boldsymbol{（a + b） \cdot c}=\boldsymbol{a \cdot c +b \cdot c}$ 

•               坐标运算

   $\boldsymbol{a}=(a_{1} , a_{2} ),\boldsymbol{b }=( b_{1} , b_{2} )$ 

  • ​ $\boldsymbol{a \cdot b}= a_{1 } b_{1} + a_{2} b_{2}$ 

  •  $\boldsymbol{a \bot b} \Leftrightarrow a_{1 } b_{1} + a_{2} b_{2} =0$ 

  •  $\left| \boldsymbol{a} \right| = \sqrt{ a_{1}^{2}+ a_{2}^{2} }$ 

  • 
    ​​ 

     $cos<\boldsymbol{a,b}>= \frac{ a_{1} b_{1+ a_{2} b_{2} } }{ \sqrt{ a_{1}^{2} } + a_{2}^{2} \sqrt{ b_{1}^{2} } + b_{2}^{2} } ​$