三角函数
三角函数
正弦
余弦
cosα=xr\cos{\alpha}=\frac{x}{r}cosα=rx
正切
tanα=yx\tan{\alpha}=\frac{y}{x}tanα=xy
符号
图像与性质
y=Asin(ωx+ϕ)图像y=A\sin{( ω x+ ϕ )}图像y=Asin(ωx+ϕ)图像
相位变换
y=sinx→ϕ<0,向左平移∣ϕ∣个单位ϕ>0,向右平移∣ϕ∣个单位y=sin(x+ϕ)y=\sin{x} \xrightarrow[ ϕ <0,向左平移|\phi|个单位]{\phi>0,向右平移|\phi|个单位} y=\sin{(x+\phi)}y=sinxϕ>0,向左平移∣ϕ∣个单位ϕ<0,向右平移∣ϕ∣个单位y=sin(x+ϕ)
周期变换
y=sin(x+ϕ)→0<ω<1,横坐标伸长到原来的1ω倍,纵坐标保持不变ω>1,横坐标缩短到原来的1ω倍,纵坐标保持不变y=sin(ωx+ϕ)y=\sin{(x+\phi)} \xrightarrow[ 0<ω <1,横坐标伸长到原来的\frac{1}{ ω }倍,纵坐标保持不变]{ω >1,横坐标缩短到原来的\frac{1}{ ω }倍,纵坐标保持不变} y=\sin{( ω x+\phi)}y=sin(x+ϕ)ω>1,横坐标缩短到原来的ω1倍,纵坐标保持不变0<ω<1,横坐标伸长到原来的ω1倍,纵坐标保持不变y=sin(ωx+ϕ)
振幅变换
y=sin(ωx+ϕ)→0<A<1,纵坐标缩短到原来的A倍,横坐标保持不变A>1,纵坐标伸长到原来的A倍,横坐标保持不变y=Asin(ωx+ϕ)y=\sin{( ω x+\phi)} \xrightarrow[ 0<A <1,纵坐标缩短到原来的A倍,横坐标保持不变]{A >1,纵坐标伸长到原来的A倍,横坐标保持不变} y=A\sin{( ω x+\phi)}y=sin(ωx+ϕ)A>1,纵坐标伸长到原来的A倍,横坐标保持不变0<A<1,纵坐标缩短到原来的A倍,横坐标保持不变y=Asin(ωx+ϕ)
恒等变化
同角基本关系式
平方关系
sin2x+cos2x=1\sin^2{x}+\cos^2{x}=1sin2x+cos2x=1
商关系
sinxcosx=tanx\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}cosxsinx=tanx
和差倍角
和差
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ\sin(\alpha \pm \beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}\pm\cos{\alpha}\sin{\beta}sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ\cos(\alpha \pm \beta)=\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta}cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ\tan(\alpha \pm \beta)=\frac{\tan{\alpha}\pm\tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha}\tan{\beta}}tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ
倍角
sin2α=2sinαcosα\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α−sin2α =2cos2α−1 =1−2sin2α\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\\ \qquad \ \ \ \ =2\cos^2{\alpha}-1\\ \qquad \ \ \ \ =1-2\sin^2{\alpha}cos2α=cos2α−sin2α =2cos2α−1 =1−2sin2α
辅助角公式
和差,积互化
积化和差
sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]
cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α−β)]
sinαsinβ=12[cos(α+β)−cos(α−β)]\sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]sinαsinβ=21[cos(α+β)−cos(α−β)]
解三角形
正弦定理
边化角 a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinCa=2R\sin{A}\qquad b=2R\sin{B}\qquad c=2R\sin{C} a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC
角化边 sinA=a2RsinB=b2RsinC=c2R\sin{A}=\frac{a}{2R}\qquad\sin{B}=\frac{b}{2R}\qquad\sin{C}=\frac{c}{2R}\qquad sinA=2RasinB=2RbsinC=2Rc
sinA:sinB:sinC=a:b:c\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}=a:b:c sinA:sinB:sinC=a:b:c
余弦定理