三角函数

• ​三角函数

  • 

    • ​正弦

      •  $\sin{\alpha}=\frac{y}{r}$ 

        
        

    • ​余弦

      • ​ $\cos{\alpha}=\frac{x}{r}$ 

    • ​正切

      • ​ $\tan{\alpha}=\frac{y}{x}$ 

  • ​符号

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  • ​图像与性质

    • ​

  • ​ $y=A\sin{( ω x+ ϕ )}图像$ 

    • ​相位变换

      • ​ $y=\sin{x} \xrightarrow[ ϕ <0,向左平移|\phi|个单位]{\phi>0,向右平移|\phi|个单位} y=\sin{(x+\phi)}$ 

    • ​周期变换

      • ​ $y=\sin{(x+\phi)} \xrightarrow[ 0<ω <1,横坐标伸长到原来的\frac{1}{ ω }倍,纵坐标保持不变]{ω >1,横坐标缩短到原来的\frac{1}{ ω }倍,纵坐标保持不变} y=\sin{( ω x+\phi)}$ 

    • ​振幅变换

      • ​ $y=\sin{( ω x+\phi)} \xrightarrow[ 0<A <1,纵坐标缩短到原来的A倍,横坐标保持不变]{A >1,纵坐标伸长到原来的A倍,横坐标保持不变} y=A\sin{( ω x+\phi)}$ 

• ​恒等变化

  • 同角​基本关系式

    • ​平方关系

      • ​ $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ 

    • 商关系

      • ​ $\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x}$ 

  • 和差倍角

    • ​和差

      • ​ $\sin(\alpha \pm \beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}\pm\cos{\alpha}\sin{\beta}$ 

      • ​ $\cos(\alpha \pm \beta)=\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta}$ 

      • ​ $\tan(\alpha \pm \beta)=\frac{\tan{\alpha}\pm\tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha}\tan{\beta}}$ 

    • ​倍角

      • ​ $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ 

      • ​ $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\\ \qquad \ \ \ \ =2\cos^2{\alpha}-1\\ \qquad \ \ \ \ =1-2\sin^2{\alpha}$ 

      •  $\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}$ 

        
        

    • ​辅助角公式

      •  $a\sin{\alpha}+b\cos{\alpha}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)\\其中\sin{\phi}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos{\phi}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 

        
        

  • 和差，积互化

    • ​积化和差

      • ​ $\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$ 

      •  $\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$ 

      • ​ $\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$ 

      • ​ $\sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$ 

  • 解三角形

    • ​正弦定理

      •  $\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R$

      • 边化角  $a=2R\sin{A}\qquad b=2R\sin{B}\qquad c=2R\sin{C}$ 

      • ​角化边 $\sin{A}=\frac{a}{2R}\qquad\sin{B}=\frac{b}{2R}\qquad\sin{C}=\frac{c}{2R}\qquad$ 

      • ​ $\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}=a:b:c$ 

      •  $A+B+C=\pi\\\sin{(A+B)}=\sin{C}$ $由A+B+C=\pi\\得\sin{(A+B)}=\sin{C}$

      •  $面积公式:S=\frac{1}{2}ab\sin{C}\\ \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}ac\sin{B}\\ \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}bc\sin{A}$ 

    • ​余弦定理

      •  $a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}\\c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$ 

      •  $\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$