第十章 曲线积分与曲面积分

• ​曲线积分

  • ​对弧长的曲线积分

    • ​定义

      •  $\int_Lf(x,y)ds$
        

      • ​若L是闭曲线，则记为 $\oint_Lf(x,y) ds$ 

    • ​性质

      •  $\int_L α f(x,y)ds =α \int_Lf(x,y)ds$ 

      • ​ $\int_L[f(x,y)+g(x,y)]ds= \int_Lf(x,y)ds+ \int_Lg(x,y)ds$ 
        

      • ​ $若L=L_{1}+L_{2}, \int_Lf(x,y)ds= \int_{L1}f(x,y)ds+ \int_{L2}f(x,y)ds$

      • ​ $若f(x,y) \equiv 1,则\int_Lf(x,y)ds= \int_Lds=L的弧长s$ 

    • ​计算

      •  $ds= \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ $$

      • ​若$x= φ (t),y= ψ (t) α ,(\leq t \leq β )$$\rightarrow dx= φ '(t)dt,dy= ψ '(t)dt$   $\rightarrow ds= \sqrt{ φ '^{2}(t)+ ψ '^2(t)}dt$  $\rightarrow \int_Lf(x,y)ds= \int_{ α }^{ β } f[ φ (t), ψ(t) ] \sqrt{ φ'^2(t)+ ψ'^2(t) } dt$
        

      • ​ $若y= ψ (x)(a \leq x \leq b),x=x$  $\rightarrow$  $ds= \sqrt{1+ ψ '^2(x)} dx$  $\rightarrow$  $\int_Lf(x,y)ds= \int_{a}^{b} f[x, ψ (x)] \sqrt{1+ ψ '^2(x)} dx$ 

      • ​ $若ρ = ρ ( θ )( α \leq θ \leq β )$  $\rightarrow$  $x= ρ( θ )cos θ ,y= ρ( θ)sin θ$ 

         $\rightarrow ds= \sqrt{x'^2 (θ)+y'^2( θ ) } d θ = \sqrt{ ρ^2( θ )+ ρ'^2 ( θ ) } d θ$                        $\rightarrow$  $\int_Lf(x,y)ds= \int_{ α }^{ β } f[ ρ( θ)cos θ , ρ (θ)sin θ ] \sqrt{ ρ ^2( θ )+ ρ '^2( θ )} d θ$ 

    • 对称轴定理
      

      •  $L=L_{1}+ L_{2} ，且 L_{1} L_2关于x轴对称，则 \int_Lf(x,y)ds=2 \int_{L1}f(x,y)ds【当f(x,-y)=f(x,y)时】 \int_Lf(x,y)ds=0【当f(x,-y)=-f(x,y)时】$ 

        
        

  • ​对坐标的曲线积分

    • ​定义

      • ​ $\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy$ $\rightarrow \int_L$
        

      • ​ $\int_L F^{ \rightarrow } ·dr^ \rightarrow$ （向量)

    • ​性质

      • ​ $\int_L[ α F^ \rightarrow _{1}(x,y)+ β F ^ \rightarrow _{2}(x,y) ]·dr^ \rightarrow = α \int_LF^ \rightarrow _1(x,y) dr^ \rightarrow +β\int_LF^ \rightarrow _2(x,y) dr^ \rightarrow$ 

      • ​ $\int_LF^ \rightarrow ·dr^ \rightarrow = \int_LF_1^ \rightarrow ·dr^ \rightarrow + \int_LF_2^ \rightarrow ·dr^ \rightarrow [F=F_1+F_2]$ 

      •  $L^-表示L的反向曲线弧，则 \int_{L^-}F^ \rightarrow ·dr^ \rightarrow =- \int_{L}F^ \rightarrow ·dr^ \rightarrow$
        

    • 计算
      

      •  $x= φ (t),y= ψ (t),t: α \rightarrow β$]$\to$  $\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= \int_{ α }^{ β } P[ φ(t) ψ(t) ] φ '(t)dt+Q[ φ (t), ψ (t)] ψ'(t)dt$  

      •  $x=x,y= φ (x),x:a \rightarrow b$ $\rightarrow$  $\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= \int_{a}^{b} P[x, φ(x) ]+Q[x, φ (x)] φ '(x)dx$ 

    • ​格林公式

      • 区域D分类
        

        • ​单连通区域（无洞）

        • ​复连通区域（有洞）

      • 区域D边界曲线L的正向
        

        • ​区域的内部靠左

      • 定理
        

        • ​条件

          • ​闭区域D由分段光滑正向曲线L围成，函数P(x,y)，Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数

        • ​公式

          •  $\oint_LPdx+Qdy=∬_D(\frac { δQ} { δ x} -\frac{ δP}{ δ y} )dxdy$
            

      • ​作用

        • 沟通了曲线积分和二重积分的联系
          

      • ​ $\oint_Lxdy-ydx=∬_D2dxdy=2∬_Ddxdy=2A, A=\dfrac{1}{2} \oint_{L}xdy-ydx$ 

      • 补线法
        

        • 若L非闭，则补 $L^*$ ,使 $L+L^*$闭，再用格林公式
          

    • ​曲线积分与路径无关的条件

      • ​条件

        • $​A,B为D内任意两点，L1​L2​为D内任意两条由A到B的光滑曲线$

      • ​判断

        • ​ $\int_{L1}Pdx+Qdy=\int_{L2}Pdx+Qdy恒成立，则称曲线积分与路径无关$ 

      • ​定理

        • ​条件

          • $设D时单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数$

        • ​四个条件等价

          • 曲线积分  $\int_LPdx+Qdy$ 与路径无关$\int_LPdx+Qdy$

          • ​沿D中任意光滑闭曲线C，有 $\oint_CPdx+Qdy=0$ 

          • ​ $Pdx+Qdy在D内是某二元函数u(x,y)的全微分，即du(x,y)=Pdx+Qdy$ 

          • 在D内每一点都有 $\dfrac{ δ P}{ δ y} =\dfrac{ δ Q}{ δ x}$ 
            

• ​曲面积分

  • ​定义

    •  $∬_ Σf(x,y,z)dS$ 

    • ​ $f(x,y,z)在光滑曲面Σ上连续 \rightarrow∬_ Σf(x,y,z)dS存在$ 

  • ​性质

    • ​ $∬_ Σ[ α f(x,y,z)+ β g(x,y,z)]dS= α ∬_ Σf(x,y,z)dS+ β ∬_ Σg(x,y,z)dS$ 

    • ​ $若Σ=Σ_1+Σ_2，则∬_Σf(x,y,z)dS=∬_{Σ1}f(x,y,z)dS+∬_{Σ2}f(x,y,z)dS$ 

    • ​ $若f(x,y,z)= \equiv ，则∬_Σf(x,y,z)dS=∬_ΣdS=Σ的面积S$ 

  • ​对称性定理

    • 条件
      

      • ​ $Σ+Σ_1+Σ_2，且Σ_1,Σ_2关于xOy面对称$ 

    • ​结论

      • 
        

         $∬_Σf(x,y,z)dS=2∬_{Σ1}f(x,y,z)dS,[若f(x,y,-z)=f(x,y,z)]$ 

      •  $∬_Σf(x,y,z)dS=0,[若f(x,y,-z)=-f(x,y,z)]$ 

  • 计算
    

    • ​条件

      •  $设有光滑曲面Σ：z=z(x,y),且Σ在xOy面上的投影区域为D_{xy},且f(x,y,z)在Σ上连续$
        

    • ​结论

      •  $∬_Σf(x,y,z)dS存在$ 

      • ​ $∬_Σf(x,y,z)dS=∬_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)] \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} dxdy$