万有引力与航天

• ​中心天体质量和密度常用的估算方法

  • ​

• ​开普勒三定律

  • ​轨道定律

    • ​椭圆形轨道

    • ​太阳在椭圆的焦点上

  • ​面积定律

    • ​相等的时间内扫过的面积相等

  • ​周期定律

    • ​ $a^{3} ÷ T^{2} = k$

    • ​k值仅与中心天体有关

• ​近地卫星与同步卫星

  • ​近地卫星：r=R（轨道半径近似为地球半径）

  • ​同步卫星（6个一定）

    • ​轨道平面一定：与赤道平面

    • ​周期一定：T=24h

    • ​角速度一定：与地球自转角速度相同

    • ​高度一定： $T= \sqrt[3]{\frac{GM T^{2} }{4 π ^{2} }} -R$ 

    • ​线速度一定： $v= \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ 

    • ​绕行方向一定：与地球自转方向一致

• ​万有引力定律

  • ​ $F=G\frac{Mm}{ r^{2} }$ 

  • ​G：万有引力常量
    M：中心天体质量
    m：环绕天体/卫星质量
    r：轨道半径（质心距离）

• ​重力与万有引力

  • ​地球表面的物体受到的万有引力 $F_{万}$ 是物体的重力G和
    随地球自转而做圆周远动的向心力 $F_{向}$ 的合力

  • ​ $F=G\frac{Mm}{ r^{2} }$ $mg=G\frac{Mm}{ R^{2} }$ 重力达到最大值
    
    赤道： $mg=G\frac{Mm}{ R^{2} }-mR ω ^{2}$  重力达到最小值

  • ​黄金代换式： $g{ R^{2} }=GM$ （R表示地球半径）

• ​双星（多星）问题

  • ​特点

    • ​向心力由彼此间的万有引力提供

    • ​两颗星的向心力、周期、角速度都相同

    • ​两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系： $L=r_{1} + r_{2}$ 

• ​卫星的动力学规律

  • ​万有引力提供向心力 $G\frac{Mm}{ r^{2} }=m a_{向} =m\frac{ v^{2} }{ r }=mR ω ^{2} =m\frac{4 π ^{2} }{ T^{2} }r$ 

  • ​公式推导（熟练）

    • ​ $a =\frac{GM}{ r^{2} }$ （r表示轨道半径）

    • ​ $v= \sqrt{\frac{GM}{r}}$ 

    • ​ $ω = \sqrt{\frac{GM}{ r^{3} }}$ 

    • ​ $T = 2 π \sqrt{\frac{ r^{3} }{GM}}$ 

• ​卫星变轨问题

  • ​离心运动

    • ​v增大做离心运动，稳定后v比原来小

  • ​向心运动

    • ​v减小做向心运动，稳定后v比原来大