ode第六章 线性微分方程组

• ​ $\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)\ \ (6.1)\\ \frac{dy}{dx}=A(x)y\ \ (6.2)\\ y(x_0)=y_0\ \ (6.3)\\ y \in R^n,\ \ A(x)\in R^{n × n}$ 

• ​6.1 一般理论

  • ​6.1.1 齐次线性微分方程组

    • ​引理6.1 解的线性组合

    • ​引理6.2 S同构于 $R^n$ 

      • ​同构映射

    • ​定理6.1 (6.2)有n个线性无关解(6.6)，通解可由(6.6)线性表出

      • ​基本解组

      • ​朗斯基(Wronsky)行列式

    • ​引理6.3 朗斯基行列式W(x)满足刘维尔公式

    • ​定理6.2 (6.2)的解组(6.8)线性无关的充要条件为 $W(x) \ne 0\ \ (a<x<b)\ \ (6.10)$ 

      • ​推论6.1 解组(6.8)线性相关的充要条件为 $W(x)= 0\ \ (a<x<b)$ 

    • 【例1】验证通解

    • ​解矩阵

      • ​基解矩阵

    • ​推论6.2  $对C非奇异， ψ (x)= ϕ (x)C\ \ (6.16)也是(6.2)的一个基解矩阵$ 

  • ​6.1.2 非齐次线性微分方程组

    • ​引理6.4 齐次线性微分方程组基解矩阵+非齐次特解，可表示(6.1)任意解

      • ​常数变易法

    • ​引理6.5 特解计算公式 $φ ^*(x)= ϕ (x) \int_{x_0}^{x} ϕ ^{-1}(s)f(s)ds\\ 其中 ϕ (x)是(6.2)的一个基解矩阵$ 

    • ​定理6.3 非齐次线性微分方程组(6.1)的通解可表示为 $y=ϕ (x)(c+ \int_{x_0}^{x} ϕ ^{-1}(s)f(s)ds)\ \ (6.21)\\$ 加上初值条件可以确定c

    • ​【例2，3】 求初值问题

• ​6.2 常系数线性微分方程组

  • ​ $\frac{dy}{dx}=Ay+f(x)\ \ (6.24)\\ \frac{dy}{dx}=Ay\ \ (6.25)\\$
    

  • ​6.2.1 矩阵指数函数的定义和性质

    • ​M的模

    • ​命题1 A的幂级数绝对收敛 $e^A$ 

    • ​命题2  $e^A$ 性质

  • ​6.2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵

    • ​定理6.4 矩阵指数函数 $ϕ (x)=e^{xA}是(6.25)的一个标准基解矩阵( ϕ (0)=E)$ 

      • ​推论6.3 (6.24)在(a,b)上的通解:

         $(6.24)在(a,b)上的通解为y=e^{xA}c+ \int_{x_0}^{x}e^{(x-s)A}f(s)ds,\ \ (6.27)\\ 满足初值条件y(x_0)=y_0的解为y=e^{(x-x_0)A}y_0+ \int_{x_0}^{x}e^{(x-s)A}f(s)ds,\ \ (6.28)$ 

    • ​【例1】对角矩阵

    • ​【例2】E+Z(Z为幂零矩阵)

  • ​6.2.3 利用若尔当标准型求基解矩阵