泰勒(Taylor)公式
n阶泰勒多项式
pn(x)p_{n}(x)pn(x) f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_{0})+f '(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n+R_{n}(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n
带有佩亚诺(Peano)余项的n阶泰勒公式
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_{0})+f '(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n+R_{n}(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中 Rn(x)=o((x−x0)n)R_{n}(x)=o((x-x_{0})^n)Rn(x)=o((x−x0)n) ，称之为佩亚诺(Peano)余项
带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式
其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(n+1),ξ介于x与x0R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}( ξ )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{(n+1)}, ξ介于x与x_{0}Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)(n+1),ξ 介于 xxx 与 x0x_{0}x0 ，称之为拉格朗日余项
令 x0=0x_{0}=0x0=0
带佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式
f(x)=f(0)+f′(0)x+...+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f'(0)x+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)f(x)=f(0)+f′(0)x+...+n!f(n)(0)xn+o(xn)
带拉格朗日余项的麦克劳林公式
f(x)=f(0)+f′(0)x+...+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!x(n+1),ξ=θx(0<θ<1)f(x)=f(0)+f'(0)x+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}( θ x)}{(n+1)!}x^{(n+1)}, ξ = θ x(0< θ <1)f(x)=f(0)+f′(0)x+...+n!f(n)(0)xn+(n+1)!f(n+1)(θx)x(n+1),ξ=θx(0<θ<1)
总结：f(x)=f(x0)+∑k=1nf(k)(x0)k!(x−x0)k+Rn(x)f(x)=f(x_{0})+ {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{ \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^k } }+R_{n}(x) f(x)=f(x0)+k=1∑nk!f(k)(x0)(x−x0)k+Rn(x)