稳恒磁场

• ​恒定电流

  • ​ $I=\frac{dq}{dt}$电流：I=dtdq​   $I=\int_s\overrightharpoon{J} \cdot d\overrightharpoon{S}$  I与J关系

  • ​电流密度： $\overrightharpoon{J}=\frac{dI}{dS}\overrightharpoon{e_n}$  数值等于通过该点单位垂直截面的电流

  • 电荷密度 $\rho$  $ρ$ 

  • ​电动势

    • ​非静电场强 $\overrightharpoon{E_k}$ : $\overrightharpoon{E_k}=\frac{\overrightharpoon{F_k}}{q}$ 

    • ​电动势： $ε =\oint\overrightharpoon{E_k}\cdot d\overrightharpoon{l}$ 电源内部： $\int_{B}^{A}\overrightharpoon{E_k}\cdot d\overrightharpoon{l}$ 

      • ​电动势是在非静电力作用下，使单位正电荷 绕闭合回路一周时，非静电力做的功

      • ​电动势是标量，规定负极经电源内部到正极 方向为电动势方向

• ​磁场

  • ​磁感应强度：B= $\frac{F_{max}}{qv}$  $=\frac{dF_{max}}{Id\overrightharpoon{l}}$ 

    • 磁场中某点B的大小，等于q 以 υ 沿与磁场方向垂直的方向运动时，所受的最大磁力 Fmax 与乘积 q υ 的比值

  • ​毕奥－萨伐尔定律:

    • ​ $d\overrightharpoon{B}=\frac{μ _0Id\overrightharpoon{l}× \overrightharpoon{r}}{4π r^3}$电流元在某点场强：dB=4πr3μ0​Idl×r​ 

      • ​大小： $dB=\frac{μ _0Idlsinα }{4π r^2}$  $α$ ：r与L夹角

      • ​方向： $Id\overrightharpoon{l}× \overrightharpoon{r}$ 

      • ​任意形状的载流导线所激发的磁场: $\overrightharpoon{B}=\int_Ld\overrightharpoon{B}=\int_L\frac{μ _0}{4π }\frac{Id\overrightharpoon{l}× \overrightharpoon{r}}{r^3}$ 

    • ​运动电荷的磁场:

      • ​电流元内： $Id\overrightharpoon{l}=\overrightharpoon{J}dSdl=nq\overrightharpoon{v}dSdl=Nq\overrightharpoon{v}$ 

        • ​电流元内运动粒子的电量是q，速度是v，单位体积内的粒子数是 n，电流元内电荷数N

      • ​*电流元在某点磁场： $d\overrightharpoon{B}=\frac{μ _0}{4π }\frac{Id\overrightharpoon{l}× \overrightharpoon{r}}{r^3}=N\frac{μ _0}{4π }\frac{q\overrightharpoon{v}× \overrightharpoon{r}}{r^3}$ 

    • ​毕奥-萨伐尔定律的应用

      • ​载流直螺线管轴线的磁场

        • ​每单位长度有n 匝线圈: $B=μ _0nI$ 

      • ​载流直导线的磁场 :

        • ​长为L，电流为I ：  $\overrightharpoon{B}=\int_Ld\overrightharpoon{B}=\int_L\frac{μ _0}{4π }\frac{Idl\cdot sinα }{r^2}$  $=\frac{μ _0I}{4π α }\int_{β _2}^{β _1} cosβ dβ =\frac{μ _0I}{4π α }(sinβ _2-sinβ _1)$ 

          • ​角 $β_1$ 是由垂线转向直电流 L 的起点形成的角度角 $β_2$ 是由垂线转向L 的终点形成的角度

        • ​*导线延长线无磁场

      • ​载流圆形线圈的磁场

        • ​半径R，电流I轴线场强：

          •  $B=\frac{μ _0}{4π }\frac{Isinθ }{r^2}\int_{0}^{2π R}dl=\frac{μ _0}{4π}\frac{Isinθ }{r^2}2πR$ 

          • ​ $r^2=R^2+x^2$ , $sinθ =\frac{R}{r}$ 

          • $B=\frac{μ _0}{2}\frac{R^2I}{(R^2+r^2)^\frac{3}{2}}$

      • ​*结论汇总

        • ​无限长载流直导线产生的磁场： $B=\frac{μ _0I}{2π a}$  $θ$

        • ​圆电流在圆心处产生的磁场: $B=\frac{μ _0I}{2R}$ 

        • ​半径为R，中心角为 $θ$ 的载流圆弧在圆心: $B=\frac{μ _0I}{2R }\frac{θ }{2π }$ 

  • ​磁通量

    • ​磁感应线：

      • ​任意两条磁感应线不会相交

      • ​磁感应线是无头无尾的闭合线，磁场是涡旋场。

      • 垂直于B的单位面积上穿过的磁感应线的数量等于该点B的大小

    • ​磁通量：通过任一给定曲面的磁感应线的数量

      • ​ $ϕ _m=\int_sdϕ _m=\int_s\overrightharpoon{B}d\overrightharpoon{S}$ 

    • ​磁场中的高斯定理：通过任一闭合曲面的总磁通量必为零

      • ​ $\oint_s\overrightharpoon{B}d\overrightharpoon{S}=0$ 

  • ​ 磁场对载流导线的作用

    • ​ $\overrightharpoon{F}=\int_Ld\overrightharpoon{F}=\int_LId\overrightharpoon{l}× \overrightharpoon{B}$ 

    • ​ 均匀磁场，长直导线$F=BILsinθ$:  F=BILsinθ 

    • 载流线圈

      • ​线圈的磁矩:  $\overrightharpoon{p_m}=NIS\cdot\overrightharpoon{n}$ 

        • ​ $\overrightharpoon{n}:$ 线圈法向量

      • ​线圈在均匀磁场中所受的磁力矩： $\overrightharpoon{M}=\overrightharpoon{p_m}× \overrightharpoon{B}$ 

  • ​磁场强度： $H=μ B$ $B=μ H$ 

• 安培定律
  

  • ​电流元： $Id\overrightharpoon{l }$ 

  • ​安培定律:两个电流之间存在着作用力称为安培力

    • ​第一个电流元对第 二个电流元的作用力为: $d\overrightharpoon{F_{12}}=I_2d\overrightharpoon{I_2}× (\frac{I_1d\overrightharpoon{I_1}× \overrightharpoon{r_{12}}}{4π r_{12}^3})$

  • 电力是纵向力，满足力的作用与反作用定律。 磁力是横向力，不满足力的作用与反作用定律。

• ​安培环路定律

  • *​ $$∮LH⇀⋅dl⇀=∑Ii\oint_L\overrightharpoon{H}\cdot d\overrightharpoon{l}=\sum I_i 

  • ​应用

    • ​环形螺线管内的磁场

      • ​ $H=\frac{NI}{2π r}$ ,N匝

    • ​载流圆柱导体内外的磁场

      • ​内（r<R): $H=\frac{Ir}{2πR^2}$ 

      • ​外（r>R): $H=\frac{I}{2π r}$