电磁学

• 电荷和电场

  • ​电场的计算

    • ​其实就是定积分的运用

    • ​有时候建议使用角度积分元

    • ​积两次分也不是不可能

  • ​电偶极子
    （Electric dipole)

    试与磁偶极子作比较

    •  $\vec p= q\vec d$ 方向是负电荷向正电荷

    • ​力矩 $\vec \tau=\vec p\times \vec E$ 

    • ​能量 $U=-\vec p \cdot \vec E$ 

• ​磁场和磁场力

  • ​磁场力

    • ​ $\vec F=q\vec v\times \vec B$ 

  • ​磁场的高斯定理

    没用的

  • ​安培定理

    • ​ $\vec F=I\vec l\times \vec B\\ \mathrm{d} \vec F=I\mathrm{d}\vec l\times \vec B$ 

  • ​磁偶极子

    可以与电偶极子作比较

    • ​ $\vec\mu=I\vec A$ ，方向是电流右手方向

    • ​力矩 $\vec \tau=\vec \mu\times \vec B$ 

    • ​能量 $U=-\vec \mu \cdot\vec B$ 

  • ​应用

    • ​画圈圈

    • ​电动机

    • ​霍尔效应

• ​高斯定理

  • ​善用对称性：球、柱、平面

  • ​对于导体表面： $E=\sigma/\epsilon_0$ 

  • ​ $\displaystyle \Phi_E=\oint \vec E\cdot \mathrm{d}\vec A =\frac{Q_{encl}}{\epsilon _0}$ 

• ​磁场源

  • ​运动电荷激发磁场

    • ​ $\displaystyle \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q\vec v\times \hat r}{r^2}$ 

  • ​电流激发磁场
    （Biot and Savart law）

    •  $\displaystyle \mathrm{d}\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi }\frac{I\mathrm{d}\vec l\times \hat r }{r^2}$ 

      • ​无限长电流

        •  $\displaystyle B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ 

      • ​两根无限长电流

        • ​ $\displaystyle \frac{F}{L}=\frac{\mu_0 II'}{2\pi r}$ 

  • ​电流环中的电场

    • ​ $\displaystyle B_x=\frac{\mu_0Ia^2}{2(x^2+a^2)^\frac{3}{2} }$ 

      • ​其中a是半径，x是距离环中心的距离

      • 对于 $\displaystyle x=0$ ​如果有多圈电流的话，就再乘上圈数

  • ​安培（环路）定理

    • ​ $\displaystyle \oint \vec B\cdot \mathrm{d}\vec l=\mu_0I_{encl}$ 

  • ​磁介质

    • ​分类

      • ​顺磁性

        • ​ $\displaystyle \sum\vec \mu_{atom}=\sum (\vec\mu_{orbit} +\vec\mu_{spin})\ne\vec 0$ 

          • ​磁偶极子会顺着外界磁场，进而增大磁场

      • ​逆磁性

        • ​ $\displaystyle \sum\vec \mu_{atom}=\sum (\vec\mu_{orbit} +\vec\mu_{spin})=\vec 0$ 

          • ​电磁感应

      • ​铁磁性

        • ​hysteresis

        • ​磁畴（magnetic domain）（宏观极小，微观极大）

    • ​几个名词

      • ​ $\displaystyle \chi_{m}:magnetic\ susceptibility$ 

      • ​ $\displaystyle K_m(\mu_r): relative\ permeability$ 

      • ​ $\displaystyle \mu_0:permeability\ in\ vacuum$ 

      • ​ $\displaystyle \mu:permeability\ of\ medium$ 

      • ​ $\displaystyle \vec M:magnetization$ 

    • ​一堆关系

      •  $\displaystyle \vec M =\frac{\vec\mu_{total}}{V}$ 

        • ​ $\displaystyle \vec B=\vec B_0+\mu_0\vec M$ 

      • ​ $\displaystyle \vec B=K_m\vec B_0$ 

        • ​ $\displaystyle \mu=K_m \mu_0$ 

        • ​ $\displaystyle \chi_m=K_m-1$ 

      • ​ $\displaystyle Curie's\ law:M=C\frac{B}{T}$ 

        • ​ $\displaystyle \vec M=\frac{\chi_m}{\mu_o}\vec B_0$ 

• ​电磁感应

  • ​法拉第定律

    • ​ $\displaystyle \mathcal{E} =-\frac{\mathrm{d} \Phi_B}{\mathrm{d} t}$ 

      • ​楞次定律也被包含在里面了

  • ​动生电动势

    • ​ $\displaystyle \mathrm{d} \mathcal{E} =(\vec v\times \vec B)\cdot \mathrm{d}\vec l \\ \mathcal{E} =\oint (\vec v\times \vec B)\cdot \mathrm{d}\vec l$ 

      • ​方向就用楞次定律判断吧~

  • ​感生电动势

    • ​感生电场是非保守场，因此没有“电势”的概念

    • ​ $\displaystyle \oint \vec E\cdot \mathrm{d} \vec l=-\frac{\mathrm{d} \Phi_B}{\mathrm{d} t}$ 

    • ​在感生电场中的Kirchhoff环路定律需要一点小修正

  • ​麦克斯韦方程组

    • ​电场中的高斯定理

      •  $\displaystyle \Phi_E=\oint \vec E\cdot \mathrm{d}\vec A =\frac{Q_{encl}}{\epsilon _0}$ 

        • ​ $\displaystyle \vec \nabla \cdot \vec E=\frac{\rho_{encl}}{\epsilon_0}$ 

        • ​ $\displaystyle \vec \nabla \cdot \vec D={\rho_{encl-free}}$ 

          • ​ $\displaystyle \vec D=K\epsilon_0\vec E$ 

    • ​磁场中的高斯定理

      • ​ $\displaystyle \Phi_B=\oint \vec B\cdot \mathrm{d}\vec A =0$ 

        • ​ $\displaystyle \vec \nabla \cdot \vec B=0$ 

    • ​安培环路定理

      • ​ $\displaystyle \oint \vec B \cdot \mathrm{d}\vec l=\mu_0(i_C+\epsilon _0\frac{\mathrm{d}\Phi_E }{\mathrm{d}t })_{encl }$ 

        • ​ $\displaystyle \vec \nabla \times \vec B=\mu_0\vec j_C+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}$ 

        • ​ $\displaystyle \vec \nabla \times \vec H=\vec j_{free}+\frac{\partial \vec D}{\partial t}$ 

    • ​法拉第定理

      • ​ $\displaystyle \oint \vec E\cdot \mathrm{d}\vec l=-\frac{\mathrm{d} \Phi_B}{\mathrm{d} t} ( =-\iint \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec A )$ 

        • ​ $\displaystyle \vec \nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$ 

  • ​边界条件

    • ​电介质

      • ​ $\displaystyle \begin{cases} E^{\perp }_{above}-E^{\perp }_{below}=\frac{\sigma }{\epsilon _0} \\ \\ E^{\parallel }_{above}=E^{\parallel}_{below} \end{cases}$ 

    • ​磁介质

      • ​ $\displaystyle \begin{cases} B^{\perp }_{above}=B^{\perp }_{below}\\ \\ B^{\parallel }_{above}-B^{\parallel }_{below}=\mu_0(\vec K \times \hat n) \end{cases}$ 

        我猜那个K是电流

• ​电势

  • ​电势的计算

    • ​跟电场计算差不多

    • ​有多个电荷时，要一一计算电势

  • ​电势差与电势能

    • ​ $U=Vq$ 

  • ​电场与电势

    • ​ $V_a-V_b=-\Delta V=\int^a_b \vec E \cdot\mathrm{d}\vec l$ 

      • ​顺着电场线走，电势下降

    • ​ $\vec E=- \vec \nabla V$ 

  • ​导体的性质

    • ​导体内 $\vec E \equiv \vec 0$ 

    • ​导体内 $V\equiv Constants$ 

    • ​导体平面是等势面

    • ​固体导体中多余的电荷分布在导体外表面（一般而言）

    • ​导体表面的电场与表面垂直

    • ​对于导体表面： $E=\sigma/\epsilon_0$ 

• ​电感

  • ​互感

    • ​ $\displaystyle \mathcal{E}_{1,2}=-M\frac{\mathrm{d} i_{2,1}}{\mathrm{d} t}$ 

    •  $\displaystyle M=\frac{N_2\Phi_{B2}}{i_1} =\frac{N_1\Phi_{B1}}{i_2}$ 

      • ​ $\displaystyle \Phi_{B2}$ 是 $\displaystyle i_1$ 激发出来的，vise versa

  • ​自感

    • ​ $\displaystyle \mathcal{E}=-L\frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}$ 

    •  $\displaystyle L=\frac{N\Phi_B}{i}$ 

  • ​磁场能量

    试与电场能量对比

    • ​ $\displaystyle U=\frac{1}{2}LI^2$ 

    • ​ $\displaystyle u=\frac{B^2}{2\mu_0}$ 

      • ​在介质里的情况就是换一个 $\displaystyle \mu$ 

  • ​R-L-C回路

    • ​会解常微分方程就好

• ​交流电

  • ​相图

  • ​resistance and
    reactance

    • ​ $\displaystyle i=I\cos \omega t$ 

      • ​电阻

        • ​ $\displaystyle v=IR\cos\omega t$ 

          • ​ $\displaystyle V_R=IR$ 

      • ​电感器

        • ​ $\displaystyle v=I\omega L\cos(\omega t+90^{\circ})$ 

          • ​ $\displaystyle V_L=IX_L,X_L=\omega L$ 

      • ​电容器

        • ​ $\displaystyle v=\frac{I}{\omega C}\cos (\omega t-90^{\circ})$ 

          • ​ $\displaystyle V_C=IX_C,X_C=1/\omega C$ 

  • ​impedance

    • ​ $\displaystyle V=IZ$ 

    • ​ $\displaystyle Z=\sqrt{R^2+[\omega L-(1/\omega C)]^2}$ 

    • ​ $\displaystyle \tan \phi=\frac{\omega L-1/\omega C}{R}$ 

  • ​交流电回路中的功率

    • ​ $\displaystyle P=\frac{1}{2}VI\cos \phi=V_{rms}I_{rms}\cos \phi$ 

      • ​ $\cos \phi$ 叫做power factor

  • ​共振

    • ​ $\displaystyle \omega _0=1/\sqrt{LC}$ 

  • ​transformers

    • ​ $\displaystyle \begin{cases} \displaystyle \frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2} \\ \\ V_1I_1=V_2I_2 \end{cases}$ 

• ​电容和电介质

  • ​电容的计算

    • ​ $\displaystyle C=\frac{Q}{V_{ab}}=\epsilon _0\frac{A}{d}$ 

      • ​灵活使用就好啦，特别是定义式

      • ​用时候可能会用上与能量相关的公式

    • ​串联
      电荷相同电压相加

      • ​ $\displaystyle \frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\cdots$ 

    • ​并联
      电压相同电荷相加

      • ​ $\displaystyle C_{eq}=C_1+C_2+\cdots$ 

  • 能量

    试与磁场能量对比

    • ​ $\displaystyle U=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2} CV^2=\frac{1}{2} QV$ 

    • ​ $\displaystyle u=\frac{1}{2}\epsilon _0E^2$ 

  • ​电介质

    • ​电介质常数 $\displaystyle K$ 

    • ​上面那些公式把 $\displaystyle \epsilon_0$ 替换成 $\displaystyle \epsilon \ (=K\epsilon_0)$ 就好了

    • ​束缚电荷（bound charges）的密度 $\displaystyle \sigma _i=\sigma (1-\frac{1}{K})$ 

      • ​符号与自由电荷是反的

    • ​电介质中的高斯定理 $\displaystyle \oint K\vec E \cdot \vec{A} =\frac{Q_{encl-free}}{\epsilon _0}$ 

      • ​ $\displaystyle \oint \vec D \cdot \vec{A} ={Q_{encl-free}},\ where\ \vec{D}=K\epsilon _0 \vec E$ 

• ​电流、电阻、电动势

  • ​电流

    • ​ $\displaystyle I=\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t} =n\left |q \right |v_0 A$ 

  • ​电流密度

    • ​ $\displaystyle \vec J=nq\vec v_d$ 

      把电流密度类比为电场强度，把电流类比为电通量

      • ​ $\displaystyle I=\iint \vec J \cdot \mathrm{d}\vec A$ 

      • ​ $\displaystyle \vec \nabla \cdot \vec J=-\frac{\partial n}{\partial t}$ ，n是电荷密度

  • ​电阻率

    • ​ $\displaystyle \rho =\frac{E}{J}$ 

    • ​导体导电的微观解释

  • ​电阻

    • ​ $\displaystyle R=\rho \frac{L}{A} =\int \frac{\rho }{A}\mathrm{d}l$ 

  • ​电动势与功率

• ​电磁波

  • ​麦克斯韦的方程组

    • ​电磁波是横波

    • ​ $\displaystyle \begin{cases} E=cB\\ B=\epsilon_0\mu_0cE \end{cases}$ 

    • ​ $\displaystyle c^2=1/\epsilon_0\mu_0$ 

    • ​波的传播方向与 $\displaystyle \vec E\times \vec B$ 同向

  • ​正弦电磁波

    • ​就是波啦

  • ​在介质中的电磁波

    •  $\displaystyle v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}=\frac{c}{\sqrt{KK_m}}$ 

  • ​能量与动量

    • ​坡印廷矢量

      • ​ $\displaystyle \vec S=\frac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B$ 

    • ​波的密度

      • ​ $\displaystyle I=S_{av}=\frac{E_{max}B_{max}}{2\mu_0}$ 

    • ​波的能量密度

      • ​ $\displaystyle u=\epsilon_oE^2$ 

        • ​电场与磁场的能量密度相等

    • ​电磁动量的流速

      • ​ $\displaystyle \frac{1}{A}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\frac{S}{c}=\frac{EB}{\mu_0c}$ 

  • ​驻波（以反射面为原点）

    • ​ $\displaystyle \begin{cases} E_y(x,t)=-2E_{max}\sin kx\sin\omega t\\ \\ B_z(x,t)=-2B_{max}\cos kt\cos \omega t \end{cases}$ 

• ​直流电回路

  • Kirchhoff定理

    • ​节点定理与环路定理

      • ​电阻、电感器：顺着电流走，电压下降

      • ​电动势、电容器：从负极向正极走，电压上升

    • ​解题步骤

      • ​标注各个路线的电流，指出方向

      • ​确定未知量

      • ​列出方程，方程数目与未知量相同

      • ​解方程

  • ​R-C回路

    • ​会解微分方程就行