复变函数论

• ​基础知识

  • ​复数

    • ​定义： $z =ax+iy$ 

      • ​注意分清实部和虚部

    • ​共轭复数： $\bar{z}=x-iy$ 

      • ​ $z \bar{z} =x^2+y^2$ 

      • ​ $z+ \bar{z} =2x=2Re z$ 

      • ​ $z- \bar{z} =2iy=2iIm z$ 

    • ​复数的模与辐角

      • ​模： $|z| = \sqrt{x^{2}+y^{2} }$ 

      • ​辐角： $θ \equiv Arg z = Arctan \frac{y}{x}$ 

        • ​辐角主值：
           $0<arg z \leq 2\pi$
          或
           $-\pi<arg z \leq \pi$  

        •  $Arg z=arg z+2k\pi,k \in \mathbb{Z}$ ​$Arg z=arg z+2k\pi,k \in \mathbb{Z}$$Arg z=arg z+2k\pi,k \in \mathbb{Z}$ 
          

    • ​复数的其他表示形式

      • ​指数形式： $z= ρ e^{iθ}$ 

        • ​ $e^{iθ}$ 又称为转角因子

      • ​三角形式： $z=cos θ +isin\theta$ 

  • ​复数的运算

    • ​加减运算

      • ​ $z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$ 

        • ​满足平行四边形法则

          或者三角形法则

    • ​乘法运算

      • ​一般形式

        • ​运用定义运算：

           $i^2=-1$ 
          

      • ​指数形式：
         $e^{i \theta_1}e^{i \theta_2}=e^{i( \theta_1 + \theta_2)}$ 

    • ​商运算

      • ​一般形式：
         $\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} +i \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}$ 

        • ​将分母实数化

      • ​指数形式：
         $\frac{e^{i \theta_1}}{e^{i \theta_2}} =e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ 
        

    • ​复数的乘幂与开方

      • ​乘幂： 
        $z^n= ρ ^ne^{in\theta}= ρ ^n(cosn \theta +isinn \theta )$ 
        

        • ​棣莫弗公式：
          $(cos \theta +isin \theta)^n=cosn \theta +isinn \theta$ 

      • ​开方：
         $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{ ρ } e^{i(\frac{\theta_0}{n}+\frac{2k\pi}{n})} ,k=0,1,…,n-1$ 

• ​复变函数的级数

  • ​级数的基本性质

    • ​级数收敛

      • ​柯西判据：

         $\forall ε >0, \exists N \in \mathbb{Z^+}$ ，当 $n>N$ 时，
        

         $\forall p>1,| f_{n+p}-f_n|< ε$ 
        

        则 ${\displaystyle \sum_{k=1}^{ \infty }{f_k} }$ 一定收敛

        • ​ ${\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty }{|f_k|} }=0$ 是级数收敛的必要条件

      • ​比值（达朗贝尔）判别法：

         ${\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty }{|\frac{f_{k+1}}{f_k}|} } =l \begin{cases} l<1 & 级数绝对收敛 \\ l>1 & 级数发散 \\ l=1 & 无法确定 \end{cases}$ 
        

      • 柯西根植判别法：

        ​ ${\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty }{ \sqrt[k]{|f_k|} } } =l \begin{cases} l<1 & 级数绝对收敛 \\ l>1 & 级数发散 \\ l=1 & 无法确定 \end{cases}$ 

      • ​一致收敛

        • ​ $M$ 判别法

      • ​威尔斯特拉斯定理

    • ​幂级数

      • ​阿贝尔定理

  • ​泰勒级数

    • ​若 $f(z)在区域 σ 内解析，则在 σ 内任意一点z=b的领域|z-b|<R内，f(z)均可展开为泰勒级数$

      $则在\sigma 内任意一点z=b的领域|z-b|<R内，$

      $f(z)均可展开为泰勒级数$ 

       $f(z)= {\displaystyle \sum_{k=0}^{ \infty }{a_k(z-b)^k} }$ 
      

      • ​ $a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(b)$ 

    • ​ $\frac{1}{1+z}= {\displaystyle \sum_{k=0}^{ \infty }{(-1)^kz^k} } ,|z|<1$ 

    • ​ $\frac{1}{1-z}= {\displaystyle \sum_{k=0}^{ \infty }{z^k} } ,|z|<1$ 

    • ​ $e^z= {\displaystyle \sum_{k=0}^{ \infty }{\frac{1}{k!}z^k} } ,|z|< \infty$ 

    • ​ $sinz= {\displaystyle \sum_{k=0}^{ \infty }{\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}} } ,|z|< \infty$ 

    • ​ $cosz= {\displaystyle \sum_{k=0}^{ \infty }{\frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}} } ,|z|< \infty$ 

  • ​洛朗级数

    • ​在环域 $r<|z-b|<R$ 内解析，则

       $f(z)= {\displaystyle \sum_{k=- \infty }^{ \infty }{C_k(z-b)^k} }$ 
      

      • ​ $C_k=\frac{1}{2 \pi i} \oint_l {\frac{f(\zeta)}{(\zeta-b)^{k+1}}d\zeta}$ 

        • ​ $注：此时C_k {=}\mathllap{/\,} \frac{f^{(k)}(b)}{k!}$ 

      • ​负幂次项称为主部

      • ​正幂次项称为正则部

  • ​孤立奇点

    • ​若 $f(z)在b点不解析，但在0<|z-b|< δ 内处处解析，则b是f(z)的孤立奇点$

      $但在0<|z-b|<\delta 内处处解析，$

      $则b是f(z)的孤立奇点$ 

    • ​可去奇点

      • ​级数展开只有正则部，即负幂次项系数均为零

    • ​ $m阶极点$ 

      • ​洛朗级数可展开到 $-m$ 次项

      • ​ $b是 \frac{1}{f(z)} 的m重零点$ 

        • ​ $f(b)=f^{(1)}(b)=…=f^{(m-1)}(b)=0,f^{(m)}{=}\mathllap{/\,}0,则b是f(z)的m重零点$

          $f^{(m)}\ne 0,$

          $则b是f(z)的m重零点$ 

    • ​本性奇点

      • ​洛朗级数有无穷多项主部

  • ​解析延拓

    • ​ $\Gamma函数$ 

      • ​ $\Gamma(x)= \int_{0}^{ \infty } {t^{x-1}e^{-t}dt},x>0$ 

      • ​ $\Gamma(1)=1$ 

      • ​ $\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)$ 

        • ​ $\Gamma(n+1)=n!,n \in \mathbb{N}$ 

      • ​ $\Gamma(x+1) \Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}$ 

      • ​ $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ 

        • ​ $\Gamma(\frac{2n+1}{2})=\frac{(2n)!}{4^nn!} \sqrt{\pi}$ 

        • ​ $\Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi}$ 

• ​解析函数

  • ​充分必要条件：满足C-R条件(柯西-黎曼条件)

    和实部与虚部可微

    • ​C-R条件：
       $\begin{alignedat}{2} \frac{\partial u}{\partial x}&=&\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x}&=&-\frac{\partial x}{\partial y} \end{alignedat}$ 

  • ​调和函数：拉普拉斯方程

  • ​初等解析函数

    • ​指数函数

    • ​三角函数

      • ​正弦函数

        • ​ $sinz= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ 

      • ​余弦函数

        • ​ $cosz= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ 

      • ​……

        • ​与实函数无异

      • ​平方和

    • ​双曲函数

      • ​双曲正弦函数

        • ​ $sinhz= \frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$ 

      • ​双曲余弦函数

        • ​ $sinhz= \frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$ 

      • ​……

      • ​平方差

    • ​双曲函数与三角函数的互化

      • ​ $sinhz=-isiniz$ 

      • ​ $coshz=cosiz$ 

      • ​ $yanhz=-itaniz$ 

      • ​……

• ​留数

  • ​ $\oint_l {f(z)dz}=2 \pi i {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{res f(b_k)} }$ 

    • ​ $res f(b_k)=C_{-1}(b_k)$ ，是洛朗级数的 $-1$ 次幂项系数

      称为 $f(z)在b_k点的留数$ 

  • ​留数的计算

    • ​本性奇点 $b$ 

      • ​ $f(z)= {\displaystyle \sum_{k=- \infty }^{\infty}{C_k(z-b)^k} }$ 

         $res f(b)=C_{-1}(b)$ 
        

    • ​一阶极点

      • ​ $res f(b)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{l}{ \frac{f(\zeta)}{\zeta-b}d\zeta}$ 

         $res f(b)=(z-b)f(z)\text{\textbar}_{z=b}$ 
        

        • ​ $若f(z)=\frac{ φ (z)}{ ψ (z)} ,且 ψ (b)=0, φ (b){=}\mathllap{/\,}0$ 

          则 $resf(b)=\frac{ φ (b)}{ ψ '(b)}$ 

    • ​ $n阶极点$ 

      • ​ $resf(b)=\frac{1}{(m-1)!} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[f(z)(z-b)^m]|_{z=b}$ 

  • 应用

    • ​计算实积分

      • ​ $R（\cos \theta,\sin \theta)类型令z=e^{i \theta}$ 

      • ​ $\int_{- \infty }^{\infty} {f(x)dx}$ 

        • ​ $若z \rightarrow \infty ,zf(z)\xrightarrow{一致}0,则 \int_{- \infty }^{\infty} {f(x)dx}=2 \pi i {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{resf(b_k)}|_{Im b_k>0} }$

          $则{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}resf(b_k){|}_{Im{b}_k>0}$ 

      • ​ $\oint_{-\infty}^{\infty}{f(x) \begin{Bmatrix} \cos px \\ \sin px \end{Bmatrix}dx},(p>0)$ 

        • ​ $\oint_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{ipx}dx}=2 \pi i {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{res(f(z)e^{ipb_k})|_{Imb_k>0}} }$ 

      • ​小圆弧引理

        • ​ ${\displaystyle \lim_{r \rightarrow 0}{ \int_{C_r}{f(z)dz} } }=i(\theta_2-\theta_1)resf(a)$ 

      • ​大圆弧引理

• ​复变函数的积分

  • ​定义以及

    解析函数在单连通区域内积分与路径无关

  • ​柯西定理

    • ​在单连通区域内解析函数

      沿任意闭合曲线的积分为零

      • ​ $\oint_{l} f(z)dz=0$ 

    • ​在复连通区域内解析函数

      按逆时针方向沿外边界线的积分

      等于按逆时针方向沿所有内边界线的积分之和

      • ​ $\oint_{l} f(z)dz= {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{ \oint_{l_k} f(z)dz} }$ 

  • ​ $\oint_{l} \frac{1}{(z-a)^n}dz = \begin{cases} 0 & n \leq 0 \\ 2 \pi i & n=1 \\ 0 & n \geq 2 \end{cases}$ 

    • ​ $a$ 在积分围道内

    • ​若 $a$ 在积分围道外时，

      则被积函数在积分围道内解析，

      积分为零

  • ​柯西积分公式

    • ​ $f(a)= \frac{1}{2 \pi i} \oint_{l} \frac{f(z)}{z-a}dz$ 

    • ​ $f(z)= \frac{1}{2 \pi i} \oint_{l} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$ 

      • ​当 $z$ 不在积分围道内时，

         $\oint_{l} {\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}dz}=0$ $\oint_{l} {\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta}=0$  

    • ​ $f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{l} {\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{(n+1)}}d\zeta}$ 

    •  $l:|\zeta-z|=R$ ​

      若 $f(\zeta)$ 在围道内解析，在围道上连续，

      且有上界，即 $f(\zeta) \leq M$ ，

      则 $|f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!M}{R^n}$ 

      • ​刘维尔定理：

        若 $f(z)$ 在复平面上解析，

        且当 $z \rightarrow \infty$ 时有界，

        则 $f(z)$ 必为一常数

      • ​模数定理：

        若 $f(z)$ 在闭区域中解析，

        则它的模必在区域边界上达到极大值

    • ​平均值定理（中值定理）：

       $f(a)= \frac{1}{2 \pi } \int_{0}^{2 \pi} {f(a+Re^{i φ })d φ }$