数学物理方法的复变函数论,仅一些个人的总结,欢迎大家补充和改进 |
复变函数论
基础知识
复数
定义:
注意分清实部和虚部
共轭复数:
复数的模与辐角
模:
辐角:
辐角主值:
或
复数的其他表示形式
指数形式:
三角形式:
复数的运算
加减运算
满足平行四边形法则
或者三角形法则
乘法运算
一般形式
运用定义运算:
指数形式:
商运算
一般形式:
将分母实数化
指数形式:
复数的乘幂与开方
乘幂:
棣莫弗公式:
开方:
复变函数的级数
级数的基本性质
级数收敛
柯西判据:
则
比值(达朗贝尔)判别法:
柯西根植判别法:
一致收敛
威尔斯特拉斯定理
幂级数
阿贝尔定理
泰勒级数
若
洛朗级数
在环域
负幂次项称为主部
正幂次项称为正则部
孤立奇点
若
可去奇点
级数展开只有正则部,即负幂次项系数均为零
洛朗级数可展开到
本性奇点
洛朗级数有无穷多项主部
解析延拓
解析函数
充分必要条件:满足C-R条件(柯西-黎曼条件)
和实部与虚部可微
C-R条件:
调和函数:拉普拉斯方程
初等解析函数
指数函数
三角函数
正弦函数
余弦函数
……
与实函数无异
平方和
双曲函数
双曲正弦函数
双曲余弦函数
……
平方差
双曲函数与三角函数的互化
……
留数
称为
留数的计算
本性奇点
一阶极点
则
应用
计算实积分
小圆弧引理
大圆弧引理
复变函数的积分
定义以及
解析函数在单连通区域内积分与路径无关
柯西定理
在单连通区域内解析函数
沿任意闭合曲线的积分为零
在复连通区域内解析函数
按逆时针方向沿外边界线的积分
等于按逆时针方向沿所有内边界线的积分之和
若
则被积函数在积分围道内解析,
积分为零
柯西积分公式
当
若
且有上界,即
则
刘维尔定理:
若
且当
则
模数定理:
若
则它的模必在区域边界上达到极大值
平均值定理(中值定理):