等式与不等式

• ​等式

  • ​等式的性质

    • ​性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍然成立
      ​  $\forall c,a=b \Leftrightarrow a+c=b+c$ 
      

    • ​性质2 等式的两边同时乘以同一个不为0的数或代数式，等式仍成立
        $\forall c \ne 0,a=b \Leftrightarrow ac=bc$ 

    • ​性质3 等式左右两边互换，所得结果仍是等式
      

        $a=b \Leftrightarrow b=a$ 

    • ​性质4 等式的相等满足传递性
      

       $a=b,b=c \Rightarrow a=c$  

      $a=b,b=c \Rightarrow a=c$a=b，b=c⇒a=c 

  • 一元一次方程 $ax=b$ 的解集

    • ​若 $a \ne 0$ ，则方程有唯一解 $x= \frac{b}{a}$ ，故解集为 $\left\{ \frac{b}{a} \right\}$ ;
      若 $a=0$ 且 $b=0$ ，则方程有无穷多个解，故解集为R；
      

      若 $a=0$ 且 $b \ne 0$ ，则方程无解，故解集为 $Ø$ 

  • ​一元二次方程
     $a x^{2}+bx+c=0(a \ne 0)$ 
    

    • 解法

      • ​配方法

      • ​公式法

        • ​若 $Δ>0$ ，则方程有两个不相等的实数根，解集为 $\left\{ \frac{-b+ \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}, \frac{-b- \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \right\}$ ；
          

          若 $Δ=0$ ，则方程有两个相等的实数根，解集为 $\left\{ \frac{b}{2a} \right\}$ ；
          

          若 $Δ<0$ ，则方程无实数根，解集为Ø。其中 $Δ= b^{2} -4ac$ 

      • ​十字相乘法

    • ​根与系数的关系

      • ​若方程的两个实根分别为 $x_{1} ,x_{2}$ ，则：
        

         $x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} , x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$ 
        

      • ​常见形式：
        (1) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =( x_{1}+ x_{2} )^{2}-2x_{1}x_{2}$  ;(2)$1$ $\frac{1}{ x_{1} } + \frac{1}{ x_{2} } = \frac{ x_{1} + x_{2} }{ x_{1} x_{2} }$ ;
        

        $1$(3) $\frac{x_{2}}{ x_{1} } + \frac{x_{1}}{ x_{2} } = \frac{ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} }{ x_{1}x_{2} } = \frac{ (x_{1} + x_{2})^{2}-2 x_{1} x_{2} }{ x_{1}x_{2} }$ ;(4) $( x_{1}- x_{2} )^2=( x_{1}+ x_{2} )^2-4 x_{1} x_{2}$ ;
        

        (5) $( x_{1}+ k )( x_{2}+ k )= x_{1} x_{2} +k( x_{1}+ x_{2} )+k^2$ ;
        (6) $\left| x_{1}-x_{2} \right| = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^2} = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^2-4 x_{1} x_{2} }$ .

  • ​方程组的解集

    • ​代入消元法

    • ​加减消元法

• ​不等式

  • ​不等关系与不等式

    • ​不等式的概念

    • ​比较实数（代数式）的大小

      • ​作差法

      • ​作商法

    • ​不等式的性质

      • ​可加性： $a>b \Leftrightarrow a+c>b+c$ 

      • ​可乘性

        • ​如果 $a>b ,c>0\Rightarrow ac>bc$ 

        • ​如果 $a>b ,c<0\Rightarrow ac<bc$ 

      • ​对称性： $a>b \Leftrightarrow b>a$ 

      • ​传递性： $a>b，b>c \Rightarrow a>c$ 

      • ​同向可加性： $a>b，c>d \Rightarrow a+c>b+d$ 

      • ​同向同正可乘性： $a>b>0 ,c>d>0\Rightarrow ac>bd>0$ 

      • ​可乘方性： $a>b>0 \Rightarrow a^{n}>b^{n}(n \in N,n>1)$ 

      • ​可开方性： $a>b>0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b} (n \in N,n>1)$ 

  • ​不等式的解法

    • ​一元一次不等式的解法

    • 绝对值不等式的解法

      • ​

    • ​一元二次不等式的解法

      • ​概念

        • ​形如 $ax^{2}+bx+c>0(<0, \geq 0, \leq 0, \ne 0)$ 的不等式称为一元二次不等式，其中 $a,b,c$ 都是常数且 $a \ne 0$ 。

      • ​解法

        • ​配方法、因式分解法、图像法

        • ​含参一元二次不等式的解法

      • ​应用

        • ​解简单的分式不等式

          • ​化为整式不等式（注意分母不为0）

        • ​一元二次不等式的含参问题（一般是恒成立问题）

          • 

        • ​建立一元二次不等式模型解决实际应用问题

  • ​基本不等式

    • ​概念

      • 定义：​如果 $a >0,b>0$ ，那么 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ ，当且仅当 $a=b$ 时等号成立。

      • ​常见变形

        • ​(1)如果
           $a>0, b>0$ ，那么 $a+ b \geq 2 \sqrt{ab}$ ;
          (2) $ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}$ 

      • ​一正二定三相等

        • ​“一正”是各项均为正数；
          “二定”
          和 $a+b$ 为定值，则积 $ab$ 有最大值；
          积 $ab$ 为定值，则和 $a+ b$ 有最小值；
          “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是要求的最值；均值不等式可以连续多次的使用，但必须要保证等号成立的条件是一致的。

    • ​基本不等式的应用

      • ​求最值

        • ​凑项、凑系数（凑出积为常数、和为常数的两项）

        • ​常数代换法：构造和式或者积式为定值的式子，应把“1”的表达式与求最值的表达式相乘求积或相除求商。
          

          常见形式： $\forall x,y>0, \frac{a}{x} + \frac{b}{y} =1$ $(ab>0)$  ，求 $mx+ny(mn>0)$ 的最值

        • ​分离因式（常数）求最值：一些分式在求最值的时候往往需要通过分离常数法将其化为能够使用配凑项凑出均值不等式的形式，在分离过程中如果分子或分母的形式比较复杂还可以考虑换元。
          常见形式： $y= \frac{cx^{2}+dx+e}{ax+b}(ac \ne 0)$  $=Ag(x)+ \frac{B}{g(x)} +C(AB>0)$ 

      • ​实际应用

• ​等式与不等式中的恒成立问题与存在性问题
  （一般是求参数的取值范围）
  

  方向：1、分参；2、直接带参数讨论

  • ​单量词

    • ​等式

      • ​ $\exists x \in D,f(x)=m$ 成立，求参数m的取值范围 

        $\Leftrightarrow$ 方程 $f(x)=m$ 有解，求参数m的取值范围 $\Leftrightarrow$ 函数y=m与函数y=f(x)在定义域 $x \in D$ 有交点 $\Leftrightarrow$ 求函数 $y=f(x)$ 在定义域为D上的值域

    • ​不等式

      • ​全称

        • ​ $\forall x \in D,f(x) \geq m$ 恒成立，求参数m的取值范围 $\Leftrightarrow \forall x \in D,m \leq f(x)_{min}$ 

        • ​ $\forall x \in D,f(x) \leq m$ 恒成立，求参数m的取值范围 $\Leftrightarrow$  $\Leftrightarrow \forall x \in D,m \geq f(x)_{max}$ 

      • ​存在（不等式有解）

        •  $\exists x \in D,m \geq f(x)$ ​恒成立，求参数m的取值范围 $\Leftrightarrow \forall x \in D,m \geq f(x)_{min}$ 

        • ​ $\exists x \in D,m \leq f(x)$ 恒成立，求参数m的取值范围 $\Leftrightarrow \exists x \in D,m \leq f(x)_{min}$ 

  • ​双量词

    • ​等式

      • ​ $\forall x \in D_{1}, \exists x \in D_{2}$ ，使 $f(x_{1})=g(x_{2})$  $\Leftrightarrow$ 设函数 $y=f(x_{1}) \in I_{1},y=g(x_{2}) \in I_{2}$ ，则 $I_{1} \subseteq I_{2}$ 

    • ​不等式

      • ​ $\forall x_{1} \in D_{1}, \forall x_{2} \in D_{2},f(x_{1}) \geq g(x_{2})$ 恒成立 $\Leftrightarrow f(x_{1})_{min} \geq g(x_{2})_{max}$ 

      • ​ $\forall x_{1} \in D_{1}, \exists x_{2} \in D_{2},f(x_{1}) \geq g(x_{2})$ 成立 $\Leftrightarrow f(x_{1})_{min} \geq g(x_{2})_{min}$ 

      • ​ $\exists x_{1} \in D_{1}, \exists x_{2} \in D_{2},f(x_{1}) \geq g(x_{2})$ 成立 $\Leftrightarrow f(x_{1})_{max} \geq g(x_{2})_{min}$