线性代数考研

• ​行列式

  • ​基本知识

    • ​5条性质

      • ​经过转置不变

      • ​两行互换，值变号

        • ​有两行相同，值为0

      • ​某行有公因数k，可提出

        • ​某行全为0，则值是0

        • ​两行成比例，则值为0

      • ​若某行是两个数之和，可把行列式拆开

      • ​某行k倍加至另行，值不变

    • ​展开公式

      • ​代数余子式

      • ​余子式

      • ​按行列展开

    • ​重要公式

      • ​主对角线

      • ​副对角线

      • ​拉普拉斯

      • ​范德蒙

    • ​克拉默法则

  • ​行列式计算

    • ​数字型（展开公式）

      • ​把某一行的k倍加至另一行

      • ​把每一行都加到第一行

      • ​逐行相加

      • ​爪型

        • ​转换成上三角或者下三角

    • ​抽象型（熟记7个公式）

      （1）行列式经过转置，值不变

      

      • ​行列式的性质恒等变形

      • ​矩阵公式，法则恒等变形，E恒等变形

        • ​适用于出现加减号的情况

      • ​特征值，相似

  • ​行列式的应用

    • ​特征多项式

    • ​克拉默法则

  • ​证 |A|=0

    三点补充（全部记住）：

    
    

    1. 设A：m×n，B：n×s，如果AB=0，则
    2. B的列向量是 AX=0 的解
    3. r（A）+r（B）≤n
    4. 设A：m×n，B：n×s，则
    5. r（AB）≤ min（r（A），r（B））
    6. 如果A可逆，r（AB）=r（B） ，r（BA）=r（B）
    7. 如果A列满秩（即r（A）=n），则r（AB）=r（B）
    8. 设A：m×n，如果m<n（方程个数<未知数个数），AX=0有非零解

    • ​AX=0有非零解

    • ​反证法 用A逆矩阵找矛盾

    • ​r（A）<n

      矩阵A的秩：矩阵A中非0子式的最高阶数

      1.若r（A）=m

      两句话说明：（1）A中有m阶子式不为0

      （2）A中所有m+1阶子式全为0

      
      

      2.若r（A）<5：5阶行列式全为0

      
      

      3.若r（A）≥2 ：有2阶子式不为0

      
      

      4.A≠0 充要条件 r（A）≥1

      
      

      5.若A是n阶，

      r（A）= n 则 |A|≠0， 则A可逆

      r（A）<n 则 |A|=0 , 则A不可逆

    • ​0是特征值

    • ​|A|=-|A|

• ​矩阵

  • ​运算

    • ​分块矩阵的运算

      • ​乘法

      • ​转置

      • ​n次方

      • ​逆矩阵

    • ​求矩阵A的n次方

      • ​秩=1 的矩阵

      • ​“角型”

      • ​利用相似

  • ​伴随

    • ​核心公式及衍生公式

      
      

      

      • ​ $A^{*}=？$ 

      • ​$（ A^{*}）^{-1}=(A^{-1})^{*}=?$ 

      • ​  $|A^{*}|=$ 

      • ​$(A^{*})^{*}=?$  

      • ​ $(A^{*})^{T}=?$ 

      •  $（kA^{*}）=?$ 

      • ​伴随矩阵的秩三种情况

    • ​求伴随方法

      • ​直接法 用定义

        • 不要丢+ - 号

        • ​不要排错队

      • ​间接法  行列式×逆矩阵

        • ​前提条件：A可逆，且容易求

  • ​可逆矩阵

    • ​求法

      • ​定义

      • ​行变换化单位矩阵

      • ​伴随矩阵

      • ​分块矩阵

  • ​初等矩阵

    • ​初等变换

      1. 用非0常数 乘 矩阵的某一行（列）
      2. 互换矩阵的某两行（列）的位置
      3. 把某行的k倍加至另一行（列）

    • 初等矩阵公式

      def：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

      初等矩阵P左乘矩阵A，所得矩阵PA就是矩阵A做一次同样的行变换。

      初等矩阵P右乘矩阵A，所得矩阵PA就是矩阵A做一次同样的列变换。

      • ​左乘右乘P

      • ​逆矩阵

        • ​倍加的初等矩阵 求逆：倍加项变号

        • 两行互换的初等矩阵 求逆：还是原来的两行互换

        • ​数乘的初等矩阵 求逆：倒数

  • ​正交矩阵

    • ​def： $A^{T}A=AA^{T}=E$ ，称A为正交矩阵

    • ​定理

      • 若A是正交矩阵，则A可逆

      • ​若A是正交矩阵，则 $A^{T}=A^{-1}$ 

      • ​若A是正交矩阵，则 |A|=1或者 -1

    • ​几何意义（三维坐标）

      • ​每一个列向量都是单位向量

      • ​任何两个列向量都垂直

  • ​矩阵的秩

• ​向量

  • 运算

    • ​加

    • ​数乘

    • ​内积 

      内积（α，β）

      （α，β）=a1b1+a2b2+a3b3+......

      如果（α，β）=0，则称α与β正交