函数

• ​定义域

  • ​自变量范围

    • ​常用定义域

      • ​tan x

        • x ≠ kπ + π/2

      • ​cot x

        • ​x ≠ kπ

      • ​arcsin x

        • ​[-1,1]

      • ​arccos x

        • ​[-1,1]

      • ​arctan x

        • ​(-∞,+∞)

• ​值域

  • ​函数的范围

    • ​常用值域

      • arcsin x

        • ​[-π/2，π/2]

      • ​arccos x

        • [0，π]

      • ​arctan x

        • ​(-π/2，π/2)

• ​函数奇偶性

  • ​设函数 y = f(x) 的定义域 D 关于原点对称（若 x ∈ D，则有 -x ∈ D），对于任一 x ∈ D

    • ​如果恒有 f(-x) = f(x)

      • ​则称 f(x) 为 D 上的偶函数

    • ​如果恒有 f(-x) = -f(x)

      • ​则称 f(x) 为 D 上的奇函数

  • ​奇函数

    • ​f(-x) = -f(x)

    • ​奇函数在 x=0 处未必有定义，但有定义时则有：f(0)=0

    • ​奇函数关于原点对称

    • ​常见奇函数

      • ​sin x

      • ​tan x

      • ​arcsin x

      • ​arctan x

      • ​[ln(1-x)] / (1+x)

      • f(x) - f(-x)

      • ​

  • ​偶函数

    • ​f(x) = f(-x)

    • 偶函数关于 y 轴对称

    • ​常见偶函数

      • ​x²

      • ​|x|

      • ​cos x

      • ​f(x) + f(-x)

  • ​奇偶函数关系

    • ​偶+偶 = 偶

    • 奇+奇 = 奇

    • ​偶+奇 = 非奇非偶

    • ​偶*偶 = 偶

    • ​奇*奇 = 偶

    • ​偶*奇 = 奇

  • ​证明奇偶性常用方法

    • ​令 t = -x

    • ​令 分子或者分母有理化

  • ​几个真题

    • ​

      • ​| xsin x |是偶函数

      • ​e^cosx 是偶函数

      • 偶函数 * 偶函数 = 偶函数
        

    • 

      • ​① |x|>1时，f(x)=0

        f(x) = 0，f[f(x)] = 1

      • ​② |x|＜1时，f(x)=1

        f(x) = 1，f[f(x)] = 1

        综上所述，f[f(x)] = 1

• ​复合函数

  • ​复合的基本原则，内层函数值域和外层函数定义域交集不为空。
    为空怎么办？那肯定就无法复合嘛

• ​周期性

  • ​若存在实数 T>0 ，对于任意 x ，恒有 f(x+T) = f(x)，则称 y=f(x) 为周期函数，使得上述关系时成立的最小正数 T 称为 f(x) 的最小正周期，简称为函数f(x)的周期

  • ​如果f(x)的周期为T，那么f(ax+b)的周期则是 T/|a| 为周期

• ​有界性

  • ​① y = f(x) 在集合 X 上有定义

    ② 若存在 M>0，使对任意的 x ∈ X，恒有 |f(x)| ≤ M

    则称 f(x) 在X上为有界函数，否则称f(x) 在 X 上为无界函数

    • ​从这里我们可以看出，所谓有界，
      是在某个区间内有界

  • ​① 如果对任意 M>0 至少存在一个x0∈X，

    ② 使得|f(x0)|＞M

    则 f(x) 为X上的无界函数

  • ​常用有界函数

    • ​|sin x| ≤ 1

    • ​|cosx| ≤ 1

    • ​|arcsin x| ≤ π/2

    • ​|arccosx| ≤ π

    • ​|arctanx| ≤ π/2

  • ​例题：

    • ​

      • ​这道题，就是使用了 sin x 的周期为 2π，sinπ/2 = 1

      • ​然后将函数 f 的值与函数 f 里的自变量变成同一个

      • ​然后 利用 n可以趋于正无穷，从而得出，即便有M>0，也无法确认出一个可以恒大于 2nπ+π/2的值，

      • ​使用的这个思想

        • ​① 如果对任意 M>0 至少存在一个x0∈X，

          ② 使得|f(x0)|＞M

          则 f(x) 为X上的无界函数

• ​单调性

  • ​单调函数一定存在反函数

  • ​反函数未必存在单调函数

• ​反函数

  • 定义

    • ​​设函数 y = f(x) 的定义域为 D ，值域为 Ry

    • 若对任意 y∈Ry，有唯一确定的 x∈D

    • ​则记为

      • ​

  • ​注意，虽然我们可以将 x = f⁻¹(y) 根据习惯写作 y = f⁻¹(x)，但是！！！！
    

    • ​y = f(x) 和 x = f⁻¹(y) 的函数图形重合

    • ​y = f(x) 和 y = f⁻¹(x) 的函数图形关于直线 y = x 对称

  • ​f⁻¹[f(x)] = f[f⁻¹(x)] = x