随机变量的数字特征

• ​数学期望E(X)/EX均值

  • 离散

    • ​设离散型随机变量X的概率分布为 $P\{X=x_i\}=p_i$    i=1,2,…   

      • ​如果级数 $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_ip_i$ 绝对收敛，则称该级数的和为随机变量X的数学期望，即 $E(X)=\underset{i=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_ip_i$ 

      • ​如果级数 $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\sum}}x_ip_i$ 不是绝对收敛，则称X的数学期望不存在

  • ​连续

    • ​设X为连续型随机变量，密度函数为f(x)

      • ​若积分 $\int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，即 $E(X)=\int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)\mathrm{d}x$ 

      • 如果积分 $\int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)\mathrm{d}x$ 不是绝对收敛，则称X的数学期望不存在

  • ​性质

    • ​设C为常数，则E(C)=C

    • ​设C为常数，X为随机变量，则E(CX)=C·EX

    • ​设X，Y为随机变量，则 $E(X \pm Y)=EX\pm EY$ 

    • ​设X和Y为两个相互独立的随机变量，则有 $E(XY)=EX\cdot EY$ 

• ​方差

  • ​设X为随机变量，若数学期望EX存在，则称 $E(X-EX)^2$ 为随机变量X的方差，记作D(X)或DX或Var(X)，即 $D(X)=E(X-EX)^2$ 

    • ​标准差

      • ​$\sqrt{D(X)}$ 

    • ​若X为离散型，分布律为 $P\{X=x_i\}=p_i$   (i=1,2,,…)，则 $D(X)=\underset{i=1}{\overset{\infty}{\sum}}(x_i-EX)^2p_i$ 

    • ​若X为连续型，概率密度为f(x)，则 $D(X)=\int^{+\infty}_{-\infty}(x-EX)^2f(x)\mathrm{d}x$ 

    • ​计算公式： $D(X)=E(X^2)-(EX)^2$ 

    • ​性质

      • ​设C为常数，则D(C)=0

      • ​设C为常数，X为随机变量，则 $D(CX)=C^2\cdot DX$ 

      • ​设a,b为常数，X为随机变量，则 $D(aX+b)=a^2\cdot DX$ 

      • ​若随机变量X与Y相互独立，则 $D(X \pm Y)=DX+DY$ 

• ​矩

• ​协方差

  • ​对于二维随机变量(X,Y)，若E[(X-Ex)(Y-EY)]存在，则称它为X和Y的协方差，记作Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

  • ​性质

    • ​Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

    • ​Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

    • ​ $Cov(X_1\pm X_2,Y)=Cov(X_1,Y)\pm Cov(X_2,Y)$ 

    • ​ $Cov(X,Y)=E(X,Y)-EX\cdot EY$ 

    • ​ $D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2Cov(X,Y)$ 

• ​相关系数

  • ​设随机变量X与Y的方差存在且均不为零，则称 $\frac{Cov(X,Y)}{ \sqrt{DX} \sqrt{DY} }$ 为X与Y的相关系数，记作 $ρ_{XY}$ 或 $ρ$ ，即 $ρ_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{ \sqrt{DX} \sqrt{DY} }$ 

  • ​性质

    • ​若X与Y相互独立，则 $ρ_{XY}=0$ 

      • ​如果 $ρ=0$ ，则X与Y不一定独立，只能说明X与Y没有线性关系。

    • ​ $｜ ρ_{XY}｜ \leq 1$ 

    • ​如果随机变量Y是X的线性函数Y=aX+b，则当a>0时， $ρ_{XY}=1$ ，当a<0时， $ρ_{XY}=-1$ 。

  • ​若 $ρ_{XY}$ ≠0，则称X与Y是相关的，特别当 $ρ_{XY} >0$ ，称X与Y正相关；当 $ρ_{XY} <0$ ，称X与Y负相关；当 $ρ_{XY} =0$ ，称X与Y不相关。 $ρ_{XY}$