微扰论

• ​定态微扰论：非简并情形

  • ​一级微扰公式

    •  $\hat H = \hat H_0 + \hat H' \\ H'是小的修正 \\ 令：\\ E_n = E_n^{(0)} + E_n^{(1)} +E_n^{(2)} + …… \\ \Psi_n = \Psi_n^{(0)} + \Psi_n^{(1)} +\Psi_n^{(2)} + …… 代入原方程逐级比较方程两端$ 

      
      

      • ​零级方程： $\hat H_0 \Psi_n^{(0)} = E_n^{(0)} \Psi_n^{(0)}$ 

      • ​一级方程： $(\hat H_0 - E_n^{(0)})\Psi_n^{(1)} =-( \hat H' - E_n^{(1)}) \Psi_n^{(0)}$ 

      • 二级方程： $(\hat H_0 - E_n^{(0)})\Psi_n^{(2)} =-( \hat H' - E_n^{(1)}) \Psi_n^{(1)} + E_n^{(2)}\Psi_n^{(0)}$ 

      • 一级微扰波函数按零级波函数展开： $\Psi_n^{(1)} =\sum _m a_{nm}^{(1)}\Psi_n^{(0)}$ 

        •  一级微扰能：$E_n^{(1)} = \int \Psi_n^{(0)*}\hat H'\Psi_n^{(0)}d\tau = \hat H'_{nn}$ 

        • ​一级微扰波函数： $\Psi _{n}^{\left( 1 \right)}=\sum_m{\frac{H'_{mn}}{E_n^{( 0 )}}\Psi _{m}^{\left( 0 \right)}}$  ( $m \ne n($ )

  • 二级微扰公式

    • 二级微扰能： $E_{n}^{\left( 0 \right)}\ =\ \sum_m'{\frac{|H'_{mn}|^2}{E_{n}^{\left( 0 \right)}-E_{m}^{\left( 0 \right)}}}$ ​

  • ​微扰论使用条件

    • ​ $H_0$ 有离散谱，对于连续谱不成立

    • ​ $H_0$ 无简并

• ​定态微扰论：简并情形

  • ​ $f_n\text{为}k\text{度简并}$ 

    • ​ $H'_{ji}\ =\ \int{\phi _{nj}^{\left( 0 \right) *}\widehat{H}'\phi _{ni}^{\left( 0 \right)}d\tau} \quad \left| \begin{matrix} H'_{11}-E_{n}^{\left( 1 \right)}& H'_{12}& ...& H'_{1k}\\ H'_{21}& H'_{22}-E_{n}^{\left( 1 \right)}& ...& H'_{2k}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \\ H'_{k1}& H'_{k2}& ...& H'_{kk}-E_{n}^{\left( 1 \right)}\\ \end{matrix} \right|\ =\ \ 0\$ 

• ​Stark效应

  • ​原子或分子在电场作用下能级和光谱发生分裂的现象

    • ​一级Stark效应：氢原子的能级裂距正比于E

    • ​二级Stark效应：碱金属原子的能级裂距正比于E的平方

• ​量子跃迁

  • ​哈密顿量不含时体系t时刻的量子态

    • ​ $\left| \Psi \left( t \right) \right> =U\left( t \right) \left| \Psi \left( 0 \right) \right> \ =\ e^{-iHt/\hbar }\left| \Psi \left( 0 \right) \right> \\ H\left| \Psi _n \right> =E_n\left| \Psi _n \right> \\ \left| \Psi \left( 0 \right) \right> =\sum_n{a_n\left| \Psi _n \right>} \\ \left| \Psi \left( t \right) \right> =\sum_n{a_ne}^{-iE_nt/\hbar }\left| \Psi _n \right>$