第一章极限与连续-ZhiMap思维导图

第一章极限与连续
进入思维导图模式
- 极限
  - 数列极限
    - 定义:
      - 对于任意的ε﹥0（不论多么小）总存在正整数N，使得当n>N时，| $x_{n}$ -a|<ε恒成立，则称数a是数列{ $x_{n}$ }的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为
        $lim x_{n} = a 或 x_{n} \to a （ n \to \infty ）$
    - 性质
      - 一般性质
        唯一性
        有界性
        ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty }{ a_{n} } } =A \Rightarrow \exists M>0,使| a_{n}| \leq M,反过来不成立。$
        保号性
        当 ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty }{ a_{n} } } =A>0 (<0) 则 \exists N>0,当n>N时， a_{n} >0(<0)$
      - 运算性质
      - 存在性质
    - $a_{n} \rightarrow \infty$
      - $a_{n} \rightarrow + \infty$
  - 函数极限
    - 定义
    - 性质
      - 一般性质
        唯一性：函数极限存在必唯一
        函数存在极限：f(a-0)=f(a+0)
        有界性
        点有界
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty }{ f(x) } } =A \Rightarrow \exists X >0,M>0,当x>X时，|f(x)| \leq M$
        局部有界
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a }{ f(x) } } =A , \exists δ >0,M>0,当0<|x-a|< δ 时，|f(x)| \leq M$
        保号性
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ f(x) } } =A>0(<0) \Rightarrow \exists δ >0当0<|x-a|< δ 时，f(x)>0(<0)$
        极限正则去心领域正。极限负则去心领域负
      - 运算性质
      - 存在性质
    - $x \rightarrow \infty$
      - $x \rightarrow + \infty$
      - $x \rightarrow - \infty$
      - $x \rightarrow \pm \infty$
  - 无穷大与无穷小
    - 无穷小
      - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ α (x)} } =0,称 α （x）当x \rightarrow a时为无穷小$
      - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty }{ α (x)} } =0,称 α （x）当x \rightarrow \infty 时为无穷小$
      - $\forall ε >0, \exists δ >0，当0<|x-a| <δ时，| α （x）-0|< ε 即 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{a(x)} } =0,称a(x)当x \rightarrow a时为无穷小$
    - 0是无穷小吗？
      - 0是常数函数
      - 0是无穷小，但无穷小不一定是0
    - 无穷大
      - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)} } = \infty$
        $若 \forall M>0, \exists δ >0,当0<|x-a|< δ 时，|f(x)| \geq M，称f(x)当x \rightarrow a时为无穷大$
        $若 \forall ε >0, \exists δ >0,当0<|x-a|< δ 时，|\frac{1}{f(x)}| < ε ，即 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{\frac{1}{f(x)}} } =0,称f(x)当x \rightarrow a时为无穷大$
    - 等价无穷小的性质
      - $α ~ β ， β ~ γ \Rightarrow α ~ γ$
    - 常见的等价无穷小
      - $\colorbox{aqua}{A}$ $\colorbox{aqua}{A}$
      - $\colorbox{aqua}{A}$
      - $\colorbox{aqua}{A}$
      - $\colorbox{aqua}{A}$
      - 1-cosX=1/2 $x^{2}$
  - 性质
    - 一般性质
      - 最重要：保号性
        极限正则去心领域正。极限负则去心领域负
    - 运算性质
      - 引理
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)} }=A \Leftrightarrow f(x)=A+ α .其中 α \rightarrow 0(x \rightarrow a)$
        无穷小 $\pm$ 无穷小为无穷小
        $α \rightarrow 0, β \rightarrow 0 (x \rightarrow a) \Rightarrow α \pm β \rightarrow 0(x \rightarrow a)$
        无穷小*有界为无穷小
        $α \rightarrow 0(x \rightarrow a),| β | \leq M \Rightarrow α β \rightarrow 0(x \rightarrow a)$
        无穷小*常数为无穷小
        $α \rightarrow 0(x \rightarrow a), M=Constant(常数) \Rightarrow Mα \rightarrow 0(x \rightarrow a)$
        无穷小*无穷小为无穷小
        $α \rightarrow 0, β \rightarrow 0 (x \rightarrow a) \Rightarrow α β \rightarrow 0(x \rightarrow a)$
      - 四则
        设 ${ \lim_{}{f(x)} } =A, { \lim_{}{g(x)} } =B$ 则：
        ${ \lim_{}[{f(x)} \pm g(x)] } =A \pm B$
        ${ \lim_{}[{f(x)} g(x)] } =A B$
        $lim\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{B}{A}(A \ne 0）$
        技巧
        P(x)= $a_{0} + a_{1} x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} +...+ a_{n}x^{n} ,则 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{P(x)} } =P(a)$
        $P(x)=a_{0} + a_{1} x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} +...+ a_{n}x^{n} ( a_{n} \ne 0)\\ Q(x)=b_{0} + b{1} x^{1} + b_{2}x^{2} + b_{3}x^{3} +...+ b_{m}x^{m} ( b_{m} \ne 0 )\\ {\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{P(x)}{Q(x)}} } =$
        ${\frac{ a_{n} }{ b_{m} }}$ ,m=n
        $Q(x)=b_{0} + b{1} x^{1} + b_{2}x^{2} + b_{3}x^{3} +...+ b_{m}x^{m} ( b_{m} \ne 0),$
        $\infty$ ,m<n
      - 复合
        $y=f(u),u=g(x) (g(x) \ne a)\\ {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{ _{0} } }{g(x)} } =a, {\displaystyle \lim_{u \rightarrow a }{f(u)} } =A\\ 则 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{_{ 0} } }{f[g(x)]} } =A$
        $则 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{_{ 0} } }{f[g(x)]} } =A$
    - 存在性质
      - 准则一
        夹迫定理（夹逼定理）
        case1 数列型
        $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}\\ {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty }a_{n} }= {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty }c_{n} }=A$
        $\Rightarrow {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty }b_{n} }=A$
        case2 函数型
        $f(x) \leq g(x) \leq h(x)\\ {\displaystyle \lim_{}f(x) }= {\displaystyle \lim_{}h(x) }=A$
        $\Rightarrow lim \;g(x)=A$
        $\fcolorbox{red}{aqua}{A}$
        ${\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 0}{\frac{sinx }{ x }} } =1$
        $\fcolorbox{red}{aqua}{重点 }$
      - 准则二
        单调有界的数列必有极限
        $\fcolorbox{red}{aqua}{重点 }$
        ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty }{ (1+\frac{1}{n})^{n} } } =e$
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty }{ (1+\frac{1}{x})^{x} } } =e$
        有界 $\Leftrightarrow 有上界、有下界$
        若数列单调增，无上界，则无极限
        若数列单调增，有上界，则极限存在
  - 解题套路
    - $u(x)^{v(x)} \Rightarrow e^{v(x)lnu(x)}$
    - $\colorbox{aqua}{A}$
    - $\colorbox{aqua}{A}$
- 题型
  - 极限部分
    - 题型一：n项和极限
      - 分子或分母，次数不齐
        放缩一下！！！！
        夹逼定理
      - 分子分母次数齐
        $\Rightarrow$ 定积分定义
        
        $\colorbox{aqua}{A}$
    - 题型二：极限存在，证明连续（单调有界）
    - 题型三不定型
      - $\frac{0}{0}、 1^{ \infty }$
        1.
        
        $u(x)^{v(x)} \Rightarrow e^{v(x)lnu(x)}$
        $\colorbox{aqua}{A}$
        $\colorbox{aqua}{A}$
        2.
        等价无穷小
        洛必达法则
        麦克劳林公式
      - $1^{ \infty }$
        
        凑
        $\fcolorbox{red}{aqua}{重点 }$
        恒等变形
      - $\frac{ \infty }{ \infty }、 0 × \infty 、 \infty - \infty 、 \infty ^{ 0 }、 0^{0}$
      - $\infty × 0$
        将一个放去分母，成为熟悉 $\frac{0}{\frac{1}{ \infty }} \Rightarrow \frac{0}{0}$
        再换元
      - $\frac{ \infty }{ \infty }$
        
        洛必达法则
        转换为确定型
        $P(x)=a_{0} + a_{1} x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} +...+ a_{n}x^{n} ( a_{n} \ne 0)\\ Q(x)=b_{0} + b{1} x^{1} + b_{2}x^{2} + b_{3}x^{3} +...+ b_{m}x^{m} ( b_{m} \ne 0 )\\ {\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{P(x)}{Q(x)}} } =$
        ${\frac{ a_{n} }{ b_{m} }}$ ,m=n
        $Q(x)=b_{0} + b{1} x^{1} + b_{2}x^{2} + b_{3}x^{3} +...+ b_{m}x^{m} ( b_{m} \ne 0),$
        $\infty$ ,m<n
      - $\infty - \infty$
        有分母通分
        没分母转化为上述已知的
        再进行换元
  - 连续与间断
    - 型一间断点及分类
- 函数的连续与间断
  - 连续
    - 定义
      - $y=f(x)(x\;ϵ \;D, x_{0} ϵ \;D)当 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{ _{0} } }{f(x)} }=f( x_{ _{0} }),称f(x)在x= x_{ _{0} }处连续$
        注：
        $f(x)在x= x_{ _{0} }处连续$ $f(x)在x= x_{ _{0} }处连续 \Leftrightarrow f(x_{ _{0} }-0)=f(x_{ _{0} }+0)=f(x_{ _{0} }).\\ 左右极限都为f(x)$
      - f(x)在闭区间[a,b]上连续：若
        $1.f(x)在[a,b]内点点连续\\ 2.f(a)=f(a+0),f(b)=f(b-0)\\ 称f(x)在[a,b]上连续$
        记 $f(x) \; ϵ \;c[a,b]$
  - 间断
    - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{ _{0} } }{f(x)} } \ne f( x_{ _{0} } )$
      - 第一类间断点
        $f(a-o)、f(a+0)皆存在$
        $f(a-0)=f(a+0)（ \ne f(a)） \rightarrow a为可去间断点$
        $f(a-0) \ne f(a+0) \rightarrow a为跳跃间断点$
      - 第二类间断点
        $f(a-0) 、 f(a+0) 至少一个不存在$
  - 初等函数：由常数与基本初等函数经过四则和复合运算而组成
    - 初等函数在其定义域内连续（间断出为无定义处）
  - 闭区间上连续函数性质
    - $f(x) ϵ c[a,b]$
      - 则f(x)在[a,b]上取得m与M
      - $\exists$ k>0， $\forall$ k $ϵ$ [a,b]，有|f(x)| $\leq k$
      - 且f(a)f(b)<0
        ∃ $ξ ϵ (a,b),使f( ξ )=0$
        $\colorbox{aqua}{零点定理 }$
      - $\forall η \; ϵ \;[m,M]则 ξ \; ϵ \;[a,b],使得f( ξ )= η (位于m与M之间的值f(x)都可以取到。）$
        $\colorbox{aqua}{介值定理}$
- $\colorbox{aqua}{A}$
  - $\colorbox{aqua}{A}$
- 一些琐碎的公式
  - | |a|-|b| | $\leq$ |a+b| $\leq$
  - $C\binom{m}{n}=\frac{P\binom{m}{n}}{ P_{m} }=\frac{n!}{m!(n-m)!}\\ C\binom{0}{n}=C\binom{n}{n}=1$
- 闭区间上连续函数的性质

第一章极限与连续

​极限

​数列极限

​定义:

​对于任意的ε﹥0（不论多么小）总存在正整数N，使得当n>N时，| xn x_{n} xn​ -a|<ε恒成立，则称数a是数列{ xn x_{n} xn​ }的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为​ lim​xn​=a或xn​→a（n→∞）

​性质

​一般性质

​唯一性

有界性

​ lim⁡n→∞an=A⇒∃M>0,使∣an∣≤M,反过来不成立。 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty }{ a_{n} } } =A \Rightarrow \exists M>0,使| a_{n}| \leq M,反过来不成立。 n→∞lim​an​=A⇒∃M>0,使∣an​∣≤M,反过来不成立。

​保号性

​当 lim⁡n→+∞an=A>0(<0)则∃N>0,当n>N时，an>0(<0) {\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty }{ a_{n} } } =A>0 (<0) 则 \exists N>0,当n>N时， a_{n} >0(<0)n→+∞lim​an​=A>0(<0)则∃N>0,当n>N时，an​>0(<0)

​运算性质

​存在性质

​ an→∞ a_{n} \rightarrow \infty an​→∞

​ an→+∞ a_{n} \rightarrow + \infty an​→+∞

​函数极限

​定义

​性质

​一般性质

​唯一性：​函数极限存在必唯一

函数存在极限：f(a-0)=f(a+0)

​有界性

​点有界

​ lim⁡x→+∞f(x)=A⇒∃X>0,M>0,当x>X时，∣f(x)∣≤M {\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty }{ f(x) } } =A \Rightarrow \exists X >0,M>0,当x>X时，|f(x)| \leq M x→+∞lim​f(x)=A⇒∃X>0,M>0,当x>X时，∣f(x)∣≤M

​局部有界

​ lim⁡x→af(x)=A,∃δ>0,M>0,当0<∣x−a∣<δ时，∣f(x)∣≤M {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a }{ f(x) } } =A , \exists δ >0,M>0,当0<|x-a|< δ 时，|f(x)| \leq M x→alim​f(x)=A,∃δ>0,M>0,当0<∣x−a∣<δ时，∣f(x)∣≤M

​保号性

lim⁡x→af(x)=A>0(<0)⇒∃δ>0当0<∣x−a∣<δ时，f(x)>0(<0) {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ f(x) } } =A>0(<0) \Rightarrow \exists δ >0当0<|x-a|< δ 时，f(x)>0(<0) x→alim​f(x)=A>0(<0)⇒∃δ>0当0<∣x−a∣<δ时，f(x)>0(<0)

​极限正则去心领域正。极限负则去心领域负

​运算性质

​存在性质

​ x→∞x \rightarrow \infty x→∞

​ x→+∞x \rightarrow + \infty x→+∞

​ x→−∞x \rightarrow - \infty x→−∞

​ x→±∞x \rightarrow \pm \infty x→±∞

​无穷大与无穷小

​无穷小

​ lim⁡x→aα(x)=0,称α（x）当x→a时为无穷小 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ α (x)} } =0,称 α （x）当x \rightarrow a时为无穷小 x→alim​α(x)=0,称α（x）当x→a时为无穷小

lim⁡x→∞α(x)=0,称α（x）当x→∞时为无穷小 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty }{ α (x)} } =0,称 α （x）当x \rightarrow \infty 时为无穷小 x→∞lim​α(x)=0,称α（x）当x→∞时为无穷小

​0是无穷小吗？

​0是常数函数

​0是无穷小，但无穷小不一定是0

​无穷大

​ lim⁡x→af(x)=∞ {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)} } = \infty x→alim​f(x)=∞

​ 若∀M>0,∃δ>0,当0<∣x−a∣<δ时，∣f(x)∣≥M，称f(x)当x→a时为无穷大若 \forall M>0, \exists δ >0,当0<|x-a|< δ 时，|f(x)| \geq M，称f(x)当x \rightarrow a时为无穷大 若∀M>0,∃δ>0,当0<∣x−a∣<δ时，∣f(x)∣≥M，称f(x)当x→a时为无穷大

​等价无穷小的性质

​ α β，β γ⇒α γ α ~ β ， β ~ γ \Rightarrow α ~ γ α ~β，β ~γ⇒α~ γ

​常见的等价无穷小

​ A\colorbox{aqua}{A} ​ A\colorbox{aqua}{A} x x sinx tanx arcsinx arctanxx~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~sinx~tanx~arcsinx~arctanx x x sinxx~sinx ​

​ A\colorbox{aqua}{A} xln(1+x)ex−1xln(1+x) e^{x-1} x~ln(1+x)~ex−1 xln(1+x)ex−1xln(1+x) e^{x-1}

​ A\colorbox{aqua}{A} (1+x)a ax (1+x)^{a}~ ax(1+x)a-1~ax ​

​ A\colorbox{aqua}{A} ax−1 a^{x} -1ax−1 ~ xlnaxlna xlna ​

​1-cosX=1/2 x2 x^{2} x2

​性质

​一般性质

​最重要：保号性

​极限正则去心领域正。极限负则去心领域负

​运算性质

​引理

​ lim⁡x→af(x)=A⇔f(x)=A+α.其中α→0(x→a) {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)} }=A \Leftrightarrow f(x)=A+ α .其中 α \rightarrow 0(x \rightarrow a) x→alim​f(x)=A⇔f(x)=A+α.其中α→0(x→a)

​无穷小 ± \pm ± 无穷小为无穷小

​ α→0,β→0(x→a)⇒α±β→0(x→a) α \rightarrow 0, β \rightarrow 0 (x \rightarrow a) \Rightarrow α \pm β \rightarrow 0(x \rightarrow a) α→0,β→0(x→a)⇒α±β→0(x→a)

​无穷小*有界为无穷小

​ α→0(x→a),∣β∣≤M⇒αβ→0(x→a) α \rightarrow 0(x \rightarrow a),| β | \leq M \Rightarrow α β \rightarrow 0(x \rightarrow a) α→0(x→a),∣β∣≤M⇒αβ→0(x→a)

​无穷小*常数为无穷小

​ α→0(x→a),M=Constant(常数)⇒Mα→0(x→a) α \rightarrow 0(x \rightarrow a), M=Constant(常数) \Rightarrow Mα \rightarrow 0(x \rightarrow a) α→0(x→a),M=Constant(常数)⇒Mα→0(x→a)

​无穷小*无穷小为无穷小

​ α→0,β→0(x→a)⇒αβ→0(x→a) α \rightarrow 0, β \rightarrow 0 (x \rightarrow a) \Rightarrow α β \rightarrow 0(x \rightarrow a) α→0,β→0(x→a)⇒αβ→0(x→a)

​四则

​设 lim⁡f(x)=A,lim⁡g(x)=B { \lim_{}{f(x)} } =A, { \lim_{}{g(x)} } =B lim​f(x)=A,lim​g(x)=B 则：

​ lim⁡[f(x)±g(x)]=A±B { \lim_{}[{f(x)} \pm g(x)] } =A \pm B lim​[f(x)±g(x)]=A±B

​ lim⁡[f(x)g(x)]=AB { \lim_{}[{f(x)} g(x)] } =A B lim​[f(x)g(x)]=AB

limg(x)f(x)=BA(A̸=0）lim\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{B}{A}(A \ne 0） limf(x)g(x)​=AB​(A̸=0）

​技巧

​P(x)= a0+a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn,则lim⁡x→aP(x)=P(a) a_{0} + a_{1} x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} +...+ a_{n}x^{n} ,则 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{P(x)} } =P(a) a0​+a1​x1+a2​x2+a3​x3+...+an​xn,则x→alim​P(x)=P(a)

​ anbm{\frac{ a_{n} }{ b_{m} }}bm​an​​ ,m=n

​ Q(x)=b0+b1x1+b2x2+b3x3+...+bmxm(bm̸=0),Q(x)=b_{0} + b{1} x^{1} + b_{2}x^{2} + b_{3}x^{3} +...+ b_{m}x^{m} ( b_{m} \ne 0), 0,m>n

​ ∞ \infty ∞ ,m<n

​复合

极限

数列极限

定义:

对于任意的ε﹥0（不论多么小）总存在正整数N，使得当n>N时，| $x_{n}$ -a|<ε恒成立，则称数a是数列{ $x_{n}$ }的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为
$lim x_{n} = a 或 x_{n} \to a （ n \to \infty ）$

性质

一般性质

唯一性

${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty }{ a_{n} } } =A \Rightarrow \exists M>0,使| a_{n}| \leq M,反过来不成立。$

保号性

当 ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty }{ a_{n} } } =A>0 (<0) 则 \exists N>0,当n>N时， a_{n} >0(<0)$

运算性质

存在性质

$a_{n} \rightarrow \infty$

$a_{n} \rightarrow + \infty$

函数极限

定义

性质

一般性质

唯一性：函数极限存在必唯一

有界性

点有界

${\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty }{ f(x) } } =A \Rightarrow \exists X >0,M>0,当x>X时，|f(x)| \leq M$

局部有界

${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a }{ f(x) } } =A , \exists δ >0,M>0,当0<|x-a|< δ 时，|f(x)| \leq M$

保号性

${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ f(x) } } =A>0(<0) \Rightarrow \exists δ >0当0<|x-a|< δ 时，f(x)>0(<0)$

极限正则去心领域正。极限负则去心领域负

运算性质

存在性质

$x \rightarrow \infty$

$x \rightarrow + \infty$

$x \rightarrow - \infty$

$x \rightarrow \pm \infty$

无穷大与无穷小

无穷小

${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ α (x)} } =0,称 α （x）当x \rightarrow a时为无穷小$

${\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty }{ α (x)} } =0,称 α （x）当x \rightarrow \infty 时为无穷小$

0是无穷小吗？

0是常数函数

0是无穷小，但无穷小不一定是0

无穷大

${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)} } = \infty$

$若 \forall M>0, \exists δ >0,当0<|x-a|< δ 时，|f(x)| \geq M，称f(x)当x \rightarrow a时为无穷大$

等价无穷小的性质

$α ~ β ， β ~ γ \Rightarrow α ~ γ$

常见的等价无穷小

$\colorbox{aqua}{A}$ $\colorbox{aqua}{A}$

$\colorbox{aqua}{A}$

$\colorbox{aqua}{A}$

$\colorbox{aqua}{A}$

1-cosX=1/2 $x^{2}$

性质

一般性质

最重要：保号性

极限正则去心领域正。极限负则去心领域负

运算性质

引理

${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)} }=A \Leftrightarrow f(x)=A+ α .其中 α \rightarrow 0(x \rightarrow a)$

无穷小 $\pm$ 无穷小为无穷小

$α \rightarrow 0, β \rightarrow 0 (x \rightarrow a) \Rightarrow α \pm β \rightarrow 0(x \rightarrow a)$

无穷小*有界为无穷小

$α \rightarrow 0(x \rightarrow a),| β | \leq M \Rightarrow α β \rightarrow 0(x \rightarrow a)$

无穷小*常数为无穷小

$α \rightarrow 0(x \rightarrow a), M=Constant(常数) \Rightarrow Mα \rightarrow 0(x \rightarrow a)$

无穷小*无穷小为无穷小

$α \rightarrow 0, β \rightarrow 0 (x \rightarrow a) \Rightarrow α β \rightarrow 0(x \rightarrow a)$

四则

设 ${ \lim_{}{f(x)} } =A, { \lim_{}{g(x)} } =B$ 则：

${ \lim_{}[{f(x)} \pm g(x)] } =A \pm B$

${ \lim_{}[{f(x)} g(x)] } =A B$

$lim\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{B}{A}(A \ne 0）$

技巧

P(x)= $a_{0} + a_{1} x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} +...+ a_{n}x^{n} ,则 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{P(x)} } =P(a)$

${\frac{ a_{n} }{ b_{m} }}$ ,m=n

$Q(x)=b_{0} + b{1} x^{1} + b_{2}x^{2} + b_{3}x^{3} +...+ b_{m}x^{m} ( b_{m} \ne 0),$

$\infty$ ,m<n

复合

$则 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{_{ 0} } }{f[g(x)]} } =A$

存在性质

准则一